Səhifələr: Əvvəlki 1 . . . 6 7 8 [9] 10 Sonraki |
barjak
|
#1
|
Posts: 706
30. Iyu 2009. 10:09:20
|
matematika -tehnicki fakultet
Predgovor Ova knjiga namijenjena je studentima tehni¡ckih i prirodnih znanosti, a u prvom redu studentima Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu (FESB). U njoj je izlo¡zeno gradivo kolegija ”Matematika 1” po sadr¡zaju koji se predaje na FESB-u. Obradena su poglavlja Osnove matematike, Linearna algebra, Vektorska algebra i analiti¡cka geometrija, Funkcije realne varijable, Derivacije i primjene, te Nizovi i redovi. Sli¡can sadr¡zaj nalazi se u ve´cini istoimenih kolegija koji se predaju na tehni¡ckim i prirodoslovnim fakultetima. Budu´ci se radi o standardnom sadr¡zaju, nije citirana posebna literatura. Spomenut ´cu samo neke od knjiga koje su utjecale na sadr¡zaj, a koje preporu ¡cujem i ¡citatelju: D. Blanu¡sa, Vi¡sa matematika, I. dio (1. i 2. svezak), Tehni¡cka knjiga, Zagreb, 1973. L. Krni´c i Z. ¡Siki´c, Ra¡cun diferencijalni i integralni, I. dio, ¡Skolska knjiga, Zagreb, 1992. N. Ugle¡si´c, Predavanja iz matemati¡cke analize I, Svu¡cili¡ste u Splitu, Split, 1989. B. P. Demidovi´c, Zadaci i rije¡seni primjeri iz vi¡se matematike, Tehni¡cka knjiga, Zagreb, 1978. U izradi ovog ud¡zbenika takoder je kori¡steno iskustvo i zabilje¡ske biv¡sih i sada¡snjih nastavnika matematike na FESB-u pa im ovom prilikom iskazujem svoju zahvalnost. Za pa¡zljivo ¡citanje teksta i korisne primjedbe tijekom rada zahvaljujem se kolegi Marku Mati´cu. U Splitu, rujna 2002.
|
|
barjak
|
#114
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 22:54:19
|
funkcije realne varijable
116 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE je parna za n paran, a neparna za n neparan pa odatle i nazivi: f(−x) = (−x)n = (−1)nxn = (−1)nf(x). Funkcija |x| je parna: ako je x > 0, tada je −x < 0 pa vrijedi | − x| = −(−x) = x = |x|, a ako je x < 0 tada je −x > 0 pa vrijedi | − x| = −x = |x|. Definicija 4.3 Funkcija f je rastu´ca ili uzlazna na intervalu A ⊆ D ako (∀x1, x2 ∈ A) x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2). Funkcija f je strogo rastu´ca na intervalu A ⊆ D ako (∀x1, x2 ∈ A) x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2). Sli¡cno, funkcija f je padaju´ca ili silazna na intervalu A ⊆ D ako (∀x1, x2 ∈ A) x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2), a strogo padaju´ca na intervalu A ⊆ D ako (∀x1, x2 ∈ A) x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2). Ako je A = D tada ka¡zemo da je funkcija f (strogo) rastu´ca ili padaju´ca bez navodenja skupa. Ako je funkcija (strogo) rastu´ca ili padaju´ca, jo¡s ka¡zemo i da je (strogo) monotona. Funkcija je po dijelovima monotona ako se podru¡cje definicije D mo¡ze rastaviti na kona¡cno mnogo podintervala takvih da je na svakom od njih funkcija monotona. Na primjer, funkcija |x| je strogo padaju´ca na intervalu (−∞, 0] i strogo rastu´ca na intervalu [0,∞), dakle po dijelovima strogo monotona. Konstantna funkcija f(x) = 2 (slika 4.17) je monotona i to istovremeno i rastu´ca i padaju´ca na ¡citavoj domeni (ali ne strogo). Definicija 4.4 Funkcija f je periodi¡cna ako postoji broj P 6= 0 takav da za svaki x ∈ D vrijedi f(x + P) = f(x). Tada o¡cito mora vrijediti x + P ∈ D. Najmanji pozitivni P s ovim svojstvom zove se osnovni period ili period funkcije f.
|
|
barjak
|
#115
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 22:55:13
|
Primjeri periodi¡cnih funkcija su trigonometrijske funkcije. Primjer 4.5 Funkcija najve´ce cijelo, [x] : R → Z je definirana s [x] = k, k ≤ x < k + 1, k ∈ Z. Definirajmo funkciju f : R → R s f(x) = x − [x]. Kako je 0 ≤ f(x) < 1, to je Rf = [0, 1). Nadalje, za svaki n ∈ N vrijedi f(x+n) = x+n−[x+n] = x+n−([x]+n) = x+n−[x]−n = x−[x] = f(x) pa je f periodi¡cna funkcija s osnovnim periodom P = 1. Zadatak 4.4 Nacrtajte funkcije [x] i f iz primjera 4.5. 4.3 Limes Pojam limesa je jedan od najva¡znijih pojmova za razumijevanje analize funkcija. U ovom poglavlju definirat ´cemo limes funkcije i dati njegova svojstva. Takoder ´cemo definirati limes slijeva i zdesna, limes u beskona¡cnosti i beskona¡can limes. Definicija 4.5 Ako se vrijednost funkcije f(x) pribli¡zava vrijednosti a kada se nezavisna varijabla x pribli¡zava to¡cki x0, tada ka¡zemo da f(x) te¡zi prema a kada x te¡zi prema x0, odnosno f(x) → a kada x → x0. Broj a je limes ili grani¡cna vrijednost funkcije f kada x te¡zi prema x0, odnosno lim x→x0 f(x) = a. Pored ove, vi¡se intuitivne definicije limesa, imamo i matemati¡cku definiciju: lim x→x0 f(x) = a ako (slika 4.8) (∀" > 0) (∃ > 0) x ∈ D {x0} ∧ |x −x0| < ⇒ |f(x)−a| < ". (4.3) Ako limx→x0 f(x) postoji, tada ka¡zemo da funkcija f konvergira u to¡cki x0. Ako limx→x0 f(x) ne postoji, tada ka¡zemo da funkcija f divergira u to¡cki x0.
|
|
barjak
|
#116
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 22:55:59
|
funkcije realne varijable
118 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE Iako izgleda slo¡zeno, precizna definicija limesa (4.3) nu¡zna je za dokazivanje raznih svojstava limesa kao u teoremima 4.2 i 4.3. Napomena 4.2 (1) Veli¡cine " i u definiciji (4.3) su op´cenito mali brojevi (vidi sliku 4.8). (2) Iz definicije 4.5 vidimo da funkcija f mo¡ze imati limes u nekoj to¡cki, a da nije definirana u toj to¡cki, ali mora biti definirana u nekoj okolini te to¡cke. x0 a aa+ e x 0+ d d 0- e x Slika 4.8: Limes funkcije Slika 4.8 prikazuje situaciju iz relacije (4.3). Drugim rije¡cima, za svaki interval oko to¡cke a postoji interval oko to¡cke x0, takav da se vrijednost funkcije nalazi u prvom intervalu, ¡cim se x nalazi u drugom intervalu. U ovom slu¡caju se za x iz drugog intervala vrijednosti funkcije nalaze u u¡zem intervalu, no taj interval je sadr¡zan u polaznom intervalu oko a pa je relacija (4.3) zadovoljena. Doka¡zimo prvi teorem o limesu. Teorem 4.2 Limes je jedinstven. Dokaz. Dokaz ´cemo provesti pomo´cu kontradikcije. Pretpostavimo suprotno od tvrdnje teorema, odnosno da postoje dva razli¡cita limesa u to¡cki x0, lim f(x) = a i lim f(x) = b.
|
|
barjak
|
#117
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 22:57:32
|
4.3 Limes 119 Odaberimo " = (b − a)/3. Prema relaciji (4.3) postoje a i b takvi da |x−x0| < a ⇒ f(x) ∈ (a−", a+") ∧ |x−x0| < b ⇒ f(x) ∈ (b−", b+"). Tada bi za = min{a, b} moralo vrijediti |x − x0| < ⇒ f(x) ∈ (a − ", a + ") ∧ f(x) ∈ (b − ", b + "). No, kako su intervali na desnoj strani disjunktni zbog na¡seg izbora ", to je nemogu´ce. Dobili smo kontradikciju pa je teorem dokazan. 4.3.1 Svojstva limesa Za prakti¡cno ra¡cunanje limesa ne koristimo relaciju (4.3), nego svojstva limesa i osnovne limese koje ´cemo upoznati tijekom predavanja. Teorem 4.3 (Osnovna svojstva limesa) Neka funkcije f i g imaju limese kada x → x0. Tada vrijedi lim x→x0 (f + g)(x) = lim x→x0 f(x) + lim x→x0 g(x), lim x→x0 (f − g)(x) = lim x→x0 f(x) − lim x→x0 g(x), lim x→x0 (f · g)(x) = lim x→x0 f(x) · lim x→x0 g(x), lim x→x0 f g(x) = limx→x0 f(x) limx→x0 g(x) , uz lim x→x0 g(x) 6= 0. Dokaz. Doka¡zimo prvo svojstvo. Odaberimo " > 0. Prema relaciji (4.3) postoje f i g takvi da |x − x0| < f ⇒ |f(x) − a| < " 2 ∧ |x − x0| < g ⇒ |g(x) − b| < " 2 , pri ¡cemu su a i b odgovaraju´ci limesi. Neka je = min{f , g}. Tada |x−x0| < povla¡ci |(f +g)(x)−(a+b)| = |f(x)−a+g(x)−b| ≤ |f(x)−a|+|g(x)−b| < " 2 + " 2 = " i tvrdnja je dokazana. U gornjoj nejednakosti koristili smo nejednakost trokuta za apsolutnu vrijednost iz teorema 1.10 (ii). Ostale tvrdnje dokazuju se na sli¡can na¡cin pomo´cu relacije (4.3).
|
|
barjak
|
#118
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 22:58:53
|
funkcije realne varijable
120 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE Posebno, za konstantu c vrijedi lim x→x0 (c + f(x)) = c + lim x→x0 f(x), lim x→x0 (cf(x)) = c lim x→x0 f(x), lim x→x0 c f(x) = c limx→x0 f(x) , lim x→x0 f(x) 6= 0. Sljede´ca dva teorema navodimo bez dokaza. Teorem 4.4 (Pravilo uklije¡stene funkcije) Neka je lim x→x0 f(x) = lim x→x0 g(x) = a. Ako postoji > 0 takav da za funkciju h vrijedi x ∈ (x0 − ) ∪ (x0 + ) ⇒ f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), tada je takoder lim x→x0 h(x) = a. Situacija opisana u teoremu prikazana je na slici 4.9 x0 a h(x) f(x) g(x) Slika 4.9: Pravilo uklije¡stene funkcije Primjer 4.6 Doka¡zimo da je lim x→0 sin x x = 1. (4.4)
|
|
barjak
|
#119
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 22:59:47
|
limes
4.3 Limes 121 Neka je x blizu nule. Iz slike 4.27 zaklju¡cujemo da za x > 0 vrijedi tg x > x > sin x, pa dijele´ci nejednakost sa sin x > 0 imamo 1 cos x > x sin x > 1. Sli¡cno, za x < 0 vrijedi (negativni brojevi) tg x < x < sin x, dijele´ci nejednakost sa sin x < 0 ponovo imamo 1 cos x > x sin x > 1. Dakle, za x 6= 0 vrijedi i recipro¡cna nejednakost 1 > sin x x > cos x. Kako je lim x→0 1 = 1, lim x→0 cos x = 1, jednakost (4.4) vrijedi po teoremu 4.6. Jednakost (4.4) se lijepo vidi i na slici 4.11. Zadatak 4.5 Koriste´ci formulu sin 2x = 2 sin x cos x, tre´cu tvrdnju teorema 4.3 i jednakost (4.4) izra¡cunajte lim x→0 sin 2x x . ¡Cemu je jednak limes lim x→0 sin x 2 x ? Teorem 4.5 (Pravilo zamjene) Neka funkcije f i g imaju iste vrijednosti u nekoj okolini to¡cke x0, (x0 − , x0 + ), osim mo¡zda u samoj to¡cki x0. Tada je lim x→x0 f(x) = lim x→x0 g(x).
|
|
barjak
|
#120
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 23:00:42
|
funkcije realne varijable
122 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE 4.3.2 Limes slijeva i zdesna Kada nezavisna varijabla x te¡zi k x0 slijeva ili zdesna, limesi ne moraju biti jednaki. Vrijednost a je limes slijeva funkcije f u to¡cki x0, odnosno lim x→x0−0 f(x) = a, ako (∀" > 0) (∃ > 0) x ∈ D ∩ (x0 − , x0) ⇒ |f(x) − a| < ". Sli¡cno, vrijednost a je limes zdesna funkcije f u to¡cki x0, odnosno lim x→x0+0 f(x) = a, ako (∀" > 0) (∃ > 0) x ∈ D ∩ (x0, x0 + ) ⇒ |f(x) − a| < ". Napomena 4.3 Svojstva limesa iz poglavlja 4.3.1 vrijede i za limese s lijeva i zdesna. Primjer 4.7 Funkcija predznak ili signum definirana je na sljede´ci na¡cin: sign : R {0} → R, sign(x) = x |x| . ¡Cesto se po dogovoru uzima sign(0) = 1 (vidi sliku 4.10). Odredimo limese slijeva i zdesna u to¡cki x0 = 0: za x > 0 vrijedi sign(x) = x/x = 1 pa je lim x→x0+0 x |x| = 1. Za x < 0 vrijedi sign(x) = x/(−x) = −1 pa je lim x→x0−0 x |x| = −1. Iz slike 4.10 vidimo da za svaki " > 0 mo¡zemo uzeti bilo koji > 0.
|
|
barjak
|
#121
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 23:01:31
|
limes
4.3 Limes 123 1 -1 Slika 4.10: Funkcija sign(x) 4.3.3 Limes u beskona¡cnosti Ako je podru¡cje definicije D neograni¡cene s jedne ili s obje strane, zanima nas postoji li limes funkcije kada nezavisna varijabla x te¡zi k −∞ ili +∞. Vrijednost a je limes funkcije f kada x → +∞ (limes u desnom kraju), odnosno lim x→+∞ f(x) = a, ako (∀" > 0) (∃M > 0) x ∈ D ∧ x > M ⇒ |f(x) − a| < ". Sli¡cno, vrijednost a je limes funkcije f kada x → −∞ (limes u lijevom kraju), odnosno lim x→−∞ f(x) = a, ako (∀" > 0) (∃M < 0) x ∈ D ∧ x < M ⇒ |f(x) − a| < ". Napomena 4.4 Svojstva limesa iz poglavlja 4.3.1 vrijede i za limese u beskona ¡cnosti. Primjer 4.8 a) Kako je funkcija sinus omedena, | sin x| ≤ 1, vrijedi (vidi sliku 4.11) lim x→+∞ sin x x = 0, lim x→−∞ sin x x = 0. b) Funkcija f(x) = 1/x o¡cito te¡zi k nuli kada x → +∞ i kada x → −∞. Za razliku od prvog primjera, ovdje mo¡zemo ¡cak odrediti da li f(x) → 0 s gornje ili donje strane (vidi sliku 4.12): lim x→+∞ 1 x = 0+, lim x→−∞ 1 x = 0−.
|
|
barjak
|
#122
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 23:02:28
|
funkcije realne varijable
124 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE e −e M −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10 20 30 40 50 Slika 4.11: Funkcija sin x/x 4.3.4 Beskona¡can limes Kada x → x0 takoder je mogu´ce da vrijednosti funkcije f te¡ze u beskona ¡cnost. Funkcija f te¡zi u +∞ kada x → x0, odnosno lim x→x0 f(x) = +∞, ako (∀M > 0) (∃ > 0) x ∈ D {x0} ∧ |x − x0| < ⇒ f(x) > M. Sli¡cno, funkcija f te¡zi u −∞ kada x → x0, odnosno lim x→x0 f(x) = −∞, ako (∀M < 0) (∃ > 0) x ∈ D {x0} ∧ |x − x0| < ⇒ f(x) < M. Napomena 4.5 Beskona¡cne limese slijeva i zdesna definiramo na sli¡can na¡cin. Svojstva limesa iz poglavlja 4.3.1 vrijede i za beskona¡cne limese. Na primjer, lako se vidi da je (slika 4.13) lim x→0−0 1 x = −∞, lim x→0+0 1 x = +∞.
|
|
barjak
|
#123
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 23:03:37
|
neprekidnost
4.4 Neprekidnost 125 e M Slika 4.12: Funkcija 1/x Zadatak 4.6 Koji su limesi funkcija f(x) = 1 x2 , g(x) = 1 x3 kada x → 0 − 0, x → 0 + 0, x → +∞ i x → −∞ ? 4.4 Neprekidnost Definirat ´cemo svojstvo neprekidnosti, dati svojstva neprekidnih funkcija, opisati vrste prekida koje funkcija mo¡ze imati te definirati asimptote i opisati postupak za njihovo nala¡zenje. Intuitivna definicija neprekidnosti je sljede´ca: funkcija je neprekidna ako njen graf mo¡zemo nacrtati bez podizanja olovke s papira. Medutim, ova defi- nicija nas ne zadovoljava jer pomo´cu nje nismo u mogu´cnosti dokazati razna svojstva neprekidnih funkcija koja koristimo u analizi. Stroga matemati¡cka definicija neprekidnosti koristi pojam limesa. Definicija 4.6 Funkcija f je neprekidna u to¡cki x0 ∈ D ako je lim x→x0 f(x) = f(x0).
|
|
barjak
|
#124
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 23:04:33
|
funkcije realne varijable
126 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE d M Slika 4.13: Beskona¡can limes Funkcija f je neprekidna na skupu A ⊆ D ako je neprekidna u svakoj to¡cki skupa A. Funkcija f je neprekidna ako je neprekidna u svakoj to¡cki svoga podru¡cja definicije D. Pomo´cu ove definicije i definicije limesa (4.3) mo¡zemo dokazati nekoliko izuzetno va¡znih svojstava neprekidnih funkcija. Tri teorema u sljede´cem poglavlju navodimo bez dokaza. 4.4.1 Svojstva neprekidnih funkcija Teorem 4.6 Neka su funkcije f i g neprekidne u to¡cki x (na skupu A). Tada su u to¡cki x (na skupu A) neprekidne i funkcije f + g, f − g, f · g i f g uz g(x) 6= 0 (g(x) 6= 0 za svaki x ∈ A). Dokaz ovog teorema sli¡can je dokazu teorema 4.3. Teorem 4.7 (i) Ako je funkcija f neprekidna u to¡cki x, a funkcija g neprekidna u to¡cki y = f(x), tada je kompozicija g ◦ f neprekidna u to¡cki x.
|
|
barjak
|
#125
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 23:05:30
|
4.4 Neprekidnost 127 (ii) Ako je lim x→x0 f(x) = y i ako je funkcija g neprekidna u to¡cki y, tada je lim x→x0 g(f(x)) = g
|
|
barjak
|
#126
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 23:06:59
|
128 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE a b c d e Slika 4.14: Neprekidna funkcija 4.4.2 Vrste prekida Razlikujemo tri vrste prekida funkcije: uklonjivi prekid, prekid prve vrste i prekid druge vrste. Definicija 4.7 Neka je funkcija f definirana u nekoj okolini (x0 − ", x0 + "), osim mo¡zda u samoj to¡cki x0. Funkcija f ima uklonjivi prekid u to¡cki x0 ako je lim x→x0−0 f(x) = lim x→x0+0 f(x) = a ∈ R, pri ¡cemu f ili nije definirana u to¡cki x0 ili je f(x0) 6= a. Prekid se ukloni tako ¡sto se definira f(x0) = a. Funkcija f ima prekid prve vrste u to¡cki x0 ako su limesi slijeva i zdesna u to¡cki x0 kona¡cni i razli¡citi. Funkcija f ima prekid druge vrste u to¡cki x0 ako je barem jedan od limesa slijeva ili zdesna beskona¡can ili ne postoji. Na primjer, funkcija f(x) = x2/x ima uklonjivi prekid u to¡cki x = 0. Prekid se ukloni tako ¡sto definiramo f(0) = 0, u kojem slu¡caju dobijemo neprekidnu funkciju f(x) = x. Funkcija sign(x) (slika 4.10) ima u to¡cki x = 0
|
|
barjak
|
#127
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 23:07:47
|
neprekidnost
4.4 Neprekidnost 129 prekid prve vrste. Naime, u toj to¡cki postoje limesi slijeva i zdesna koji su kona¡cni, ali razli¡citi. Funkcije x−1 (slika 4.12), x−2, x−3, . . . , sve imaju prekid druge vrste u to¡cki x = 0, jer su limesi s obje strane beskona¡cni. Primjer 4.10 Navodimo dva zanimljiva primjera prekida druge vrste. a) Funkcija f(x) = (0, x ≤ 0 sin 1 x , x > 0 ima prekid druge vrste u to¡cki x = 0 (vidi sliku 4.15). Naime, funkcija sin 1 x sve br¡ze titra kada x → 0 + 0 pa limes zdesna ne postoji (u svakom, ma koliko malom, intervalu oko nule funkcija poprimi sve vrijednosti izmedu −1 i 1). b) Funkcija f : R → {0, 1} definirana s f(x) = (1, x ∈ Q 0, x ∈ R Q ima u svakoj to¡cki prekid druge vrste. Naime, kako su po teoremu 1.9 (ii) i (iii) skupovi R i Q gusti jedan u drugom, funkcija nema limes ni u jednoj to¡cki (u svakom, ma koliko malom, intervalu oko bilo koje to¡cke funkcija beskona¡cno puta poprimi vrijednost 0 i vrijednost 1). 1 -1 -2 -1 0 1 2 3 Slika 4.15: Funkcija sin 1 x
|
|
Səhifələr: Əvvəlki 1 . . . 6 7 8 [9] 10 Sonraki |
|
You haven`t enough privilegies to reply in this forum.
|