Səhifələr: Əvvəlki 1 . . . 5 6 7 [8] 9 10 Sonraki |
barjak
|
#1
|
Posts: 706
30. Iyu 2009. 10:09:20
|
matematika -tehnicki fakultet
Predgovor Ova knjiga namijenjena je studentima tehni¡ckih i prirodnih znanosti, a u prvom redu studentima Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu (FESB). U njoj je izlo¡zeno gradivo kolegija ”Matematika 1” po sadr¡zaju koji se predaje na FESB-u. Obradena su poglavlja Osnove matematike, Linearna algebra, Vektorska algebra i analiti¡cka geometrija, Funkcije realne varijable, Derivacije i primjene, te Nizovi i redovi. Sli¡can sadr¡zaj nalazi se u ve´cini istoimenih kolegija koji se predaju na tehni¡ckim i prirodoslovnim fakultetima. Budu´ci se radi o standardnom sadr¡zaju, nije citirana posebna literatura. Spomenut ´cu samo neke od knjiga koje su utjecale na sadr¡zaj, a koje preporu ¡cujem i ¡citatelju: D. Blanu¡sa, Vi¡sa matematika, I. dio (1. i 2. svezak), Tehni¡cka knjiga, Zagreb, 1973. L. Krni´c i Z. ¡Siki´c, Ra¡cun diferencijalni i integralni, I. dio, ¡Skolska knjiga, Zagreb, 1992. N. Ugle¡si´c, Predavanja iz matemati¡cke analize I, Svu¡cili¡ste u Splitu, Split, 1989. B. P. Demidovi´c, Zadaci i rije¡seni primjeri iz vi¡se matematike, Tehni¡cka knjiga, Zagreb, 1978. U izradi ovog ud¡zbenika takoder je kori¡steno iskustvo i zabilje¡ske biv¡sih i sada¡snjih nastavnika matematike na FESB-u pa im ovom prilikom iskazujem svoju zahvalnost. Za pa¡zljivo ¡citanje teksta i korisne primjedbe tijekom rada zahvaljujem se kolegi Marku Mati´cu. U Splitu, rujna 2002.
|
|
barjak
|
#100
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 08:52:16
|
vektorska algebra i analiticka geometrija
100 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA 1. Udaljenost to¡caka T1 = (x1, y1, z1) i T2 = (x2, y2, z2): iz postupka nala¡zenja komponenata vektora u primjeru 3.2 i formule za duljinu vektora (3.1) slijedi d(T1, T2) = |−−→ T1T2| = p(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2. 2. Udaljenost to¡cke T od pravca p: prvo nademo projekciju T′ to¡cke T na pravac p, a onda izra¡cunamo d(T, p) = |−−→ TT′| (primjer 3.13). 3. Udaljenost to¡cke T od ravnine : prvo nademo projekciju T′ to¡cke T na ravninu , a onda izra¡cunamo d(T, ) = |−−→ TT′| (primjer 3.14). 4. Udaljenost pravaca p1 i p2, d(p1, p2). 5. Udaljenost ravnina 1 i 2, d(1, 2). 6. Udaljenost pravca p i ravnine , d(p, ). e) Analiza trokuta. 1. Te¡zi¡ste – sjeci¡ste te¡zi¡snica, odnosno pravaca koji spajaju vrh trokuta sa sredinom nasuprotne stranice. 2. Upisana kru¡znica – sredi¡ste je sjeci¡ste simetrala kutova, odnosno pravaca koji raspolovljuju unutarnje kutove trokuta, a radijus je udaljenost sredi¡sta od bilo koje stranice. 3. Opisana kru¡znica – sredi¡ste je sjeci¡ste simetrala stranica, odnosno okomica podignutih od sredine stranice trokuta, a radijus je udaljenost sredi¡sta od bilo kojeg vrha. 4. Ortocentar – sjeci¡ste visina, odnosno okomica spu¡stenih iz vrha trokuta na nasuprotnu stranicu. f) Povr¡sine i volumeni. 1. Povr¡sina poligonalnih likova u prostoru – lik rastavljamo na trokute, a povr¡sine trokuta ra¡cunamo pomo´cu vektorskog produkta kao u primjeru 3.7. 2. Volumeni tijela omedenih samo s ravnim plohama – tijelo rastavljamo na tetraedre, a povr¡sine tetraedara ra¡cunamo pomo´cu mje¡sovitog produkta kao u primjeru 3.8. Postupci za ispitivanje ovih meduodnosa i svojstava detaljno su opisani u vje¡zbama.
|
|
barjak
|
#101
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 08:53:07
|
primene
3.15 Primjene 101 3.15.1 Primjeri Sljede´ci primjeri ilustriraju nala¡zenje sjeci¡sta pravca i ravnine, projekcije to¡cke na pravac i udaljenosti to¡cke od pravca te projekcije to¡cke na ravninu i udaljenosti to¡cke od ravnine. Primjer 3.12 Odredimo to¡cku T u kojoj se sijeku pravac p . . . x − 1 −1 = y − 3 2 = z − 2 3 i ravnina zadana s x+2y +z −3 = 0. Parametarska jednad¡zba pravca glasi   x = 1 − t y = 3 + 2t z = 2 + 3t t ∈ R. Uvr¡stavanje u jednad¡zbu ravnine daje 1 − t + 2(3 + 2t) + 2 + 3t − 3 = 0, odnosno t = −1. Uvr¡stavanje ove vrijednosti t u parametarsku jednad¡zbu pravca daje x = 2, y = 1 i z = −1 pa je tra¡zena to¡cka T jednaka (slika 3.18) p ∩ = T = (2, 1,−1). Primjer 3.13 Odredimo projekciju T′ to¡cke T = (4, 4, 5) na pravac p . . . x − 4 1 = y − 6 2 = z + 1 −1 i udaljenost to¡cke T od pravca p. Za odredivanje projekcije odredit ´cemo pomo´cnu ravninu koja prolazi to¡ckom T, a okomita je na pravac p. To¡cka T′ je sjeci¡ste pravca p i ravnine (slika 3.19). Normala ravnine jednaka je vektoru smjera pravca p, n = s = {1, 2,−1}. Ravnina prolazi to¡ckom T pa formula (3.12) daje x − 4 + 2(y − 4) − (z − 5) = 0. Nadimo sjeci¡ste pravca i ravnine kao u primjeru 3.12: parametarska jednad¡zba pravca p glasi   x = 4 + t y = 6 + 2t z = −1 − t t ∈ R
|
|
barjak
|
#102
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 08:53:57
|
vektorska algebra i analiticka geometrija
102 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA r p x y z T 1 2 Slika 3.18: Sjeci¡ste pravca i ravnine pa uvr¡stavanje u jednad¡zbu ravnine daje t = −5 3 . Uvr¡stavanje t u parametarsku jednad¡zbu pravca daje T′ = 7 3 , 8 3 , 2 3. Kona¡cno, d(T, p) = |−−→ TT′| = s7 3 − 42 + 8 3 − 42 + 2 3 − 52 = √210 3 ≈ 4.83. Primjer 3.14 Odredimo projekciju T′ to¡cke T = (4, 4, 5) na ravninu . . . 3x + 6y + 2z − 6 = 0 i udaljenost to¡cke T od ravnine . Prvo ´cemo na´ci pomo´cni pravac p koji prolazi to¡ckom T, a okomit je na ravninu . To¡cka T′ je tada sjeci¡ste pravca i ravnine (slika 3.20). Vektor smjera pravca p jednak je normali ravnine , s = n = {3, 6, 2}.
|
|
barjak
|
#103
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 08:54:50
|
primene
3.15 Primjene 103 x y z 4 T’ 8/3 r n=s T p 4 7/3 d(T,p) Slika 3.19: Projekcija to¡cke na pravac Pravac prolazi to¡ckom T pa njegova parametarska jednad¡zba glasi   x = 4 + 3t y = 4 + 6t z = 5 + 2t t ∈ R. Sli¡cno kao u prethodnom primjeru, uvr¡stavanje u jednad¡zbu ravnine daje t = −40 49 , odnosno T′ = 76 49 , −44 49 , 165 49 ≈ (1.55,−0.9, 3.37). Kona¡cno d(T, ) = |−−→ TT′| = 280 49 ≈ 5.71.
|
|
barjak
|
#104
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 22:31:37
|
funkcije realne varijable
4. FUNKCIJE REALNE VARIJABLE 4.1 Na¡cini zadavanja funkcija . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.1.1 Tabli¡cno zadavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.1.2 Eksplicitno zadavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.1.3 Implicitno zadavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.1.4 Parametarsko zadavanje . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.2 Klasifikacija funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3 Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.3.1 Svojstva limesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.3.2 Limes slijeva i zdesna . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.3.3 Limes u beskona¡cnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.3.4 Beskona¡can limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.4 Neprekidnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.4.1 Svojstva neprekidnih funkcija . . . . . . . . . . . . . 126 4.4.2 Vrste prekida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.5 Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.6 Pregled elementarnih funkcija . . . . . . . . . . . . . 132 4.6.1 Konstantna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.6.2 Potencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.6.3 Eksponencijalna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.6.4 Logaritamska funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.6.5 Trigonometrijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.6.6 Arkus funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 4.6.7 Klasifikacija elementarnih funkcija . . . . . . . . . . 153 4.6.8 Polinomi i racionalne funkcije . . . . . . . . . . . . . 154 4.6.9 Hiperbolne i area funkcije . . . . . . . . . . . . . . . 156
|
|
barjak
|
#105
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 22:43:51
|
funkcije realne varijable
106 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE Ova glava kao i sljede´ca o derivacijama, posve´cene su ispitivanju realnih funkcija realne varijable, dakle funkcije kod kojih su domena, i kodomena podskupovi skupa realnih brojeva. Posebno ´cemo promatrati tipove funkcija koje se javljaju u tehni¡ckim primjenama, a to su funkcije oblika f : D → K, D,K ⊆ R, pri ¡cemu D ozna¡cava domenu, a K kodomenu funkcije (vidi definiciju 1.7). Za ispitivanje funkcije potrebno je znati: – podru¡cje definicije ili domenu, – podru¡cje vrijednosti ili kodomenu, – podru¡cje neprekidnosti, – pona¡sanje funkcije u rubovima podru¡cja definicije, uklju¡cuju´ci ∞ i −∞ kad god to ima smisla te u to¡ckama prekida (limesi i asimptote), – simetriju (parnost ili neparnost), – periodi¡cnost, – podru¡cja monotonosti (rastu´ca ili padaju´ca funkcija), – zakrivljenost (konveksnost ili konkavnost) i to¡cke infleksije, odnosno to¡cke u kojima dolazi do promjene zakrivljenosti, – ekstreme, odnosno lokalne i globalne minimume i maksimume, – skicirati funkciju, – odrediti inverznu funkciju ukoliko je zadana funkcija bijekcija. Derivacije, koje su tema sljede´ce glave, koriste se kod nala¡zenja limesa te kod ispitivanja monotonosti, zakrivljenosti i ekstrema. Graf funkcije op´cenito mo¡zemo definirati kao prikaz ovisnosti varijabli x i y pomo´cu krivulje u ravnini. Kako je svakoj funkciji jednozna¡cno pridru¡zen njen graf, to u daljnjem izlaganju ¡cesto ne´cemo praviti razliku izmedu funkcije i njenog grafa, ukoliko je iz konteksta jasno na ¡sto se misli. Precizne definicije grafa funkcije ovise o na¡cinu zadavanja funkcije pa ´cemo ih navesti kasnije u odgovaraju´cim poglavljima. U sljede´cim poglavljima opisat ´cemo na¡cine zadavanja funkcija, te dati klasifikaciju funkcija, odnosno definirati neke va¡zne klase funkcija. Zatim ´cemo opisati pojam limesa te pomo´cu njega uvesti pojam neprekidnosti i opisati vrste prekida. Takoder ´cemo navesti i svojstva limesa i neprekidnih funkcija. Potom ´cemo definirati pojam asimptote i opisati kako ih nalazimo, a na kraju ´cemo dati pregled elementarnih funkcija i njihovih svojstava.
|
|
barjak
|
#106
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 22:45:04
|
zadavanja funkcija
4.1 Na¡cini zadavanja funkcija 107 4.1 Na¡cini zadavanja funkcija Funkciju mo¡zemo zadati tabli¡cno, eksplicitno, implicitno i parametarski. 4.1.1 Tabli¡cno zadavanje Tabli¡cno zadavanje funkcija je ¡cesto u primjenama, jer se vrijednost zavisne varijable mo¡ze izmjeriti samo u nekim to¡ckama. Tako se na primjer temperatura ili tlak zraka mjeri su meteorolo¡skim stanicama, a kod prikaza se u meteorolo¡skim kartama te vrijednosti interpoliraju glatkim krivuljama. Funkcija zadana s x 0 1 3 4 5 8 y = f(x) -1 1 3 5 7 6 prikazana je na slici 4.1. -1 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 Slika 4.1: Tabli¡cno zadana funkcija Graf tabli¡cno zadane funkcije je skup to¡caka u ravini, S ⊂ R2, definiran s S = {(x, y) : y = f(x)}. Za odredivanje vrijednosti funkcije u ostalim to¡ckama koristimo postupak interpolacije. Najjednostavnija je linearna interpolacija kod koje se vrijednosti
|
|
barjak
|
#107
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 22:45:55
|
funkcije realne varijable
108 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE funkcije izmedu dvije susjedne to¡cke grafa prikazuju kao da le¡ze na pravcu izmedu te dvije to¡cke. Dakle, za x ∈ (xi, xi+1) se uzima (vidi primjer 3.11) f(x) = y = yi + yi+1 − yi xi+1 − xi (x − xi). Tako je, na primjer (slika 4.2), f(2.6) = y(1) + y(3) − y(1) 3 − 1 (2.6 − 1) = 2.6 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 Slika 4.2: Linearna interpolacija Va¡zan primjer tabli¡cno zadanih funkcija su i logaritamske tablice. U tablicama su zadane vrijednosti elementarnih funkcija kao sin x, cos x, log x, ln x i ex u odredenim to¡ckama, dok se vrijednosti funkcija u ostalim to¡ckama nalaze odgovaraju´com interpolacijom. 4.1.2 Eksplicitno zadavanje Eksplicitno se funkcija zadaje pomo´cu pravila y = f(x), gdje je f(x) izraz koji sadr¡zi samo nezavisnu varijablu x. Dakle, eksplicitno zadana funkcija je preslikavanje f : D → K pri ¡cemu su domena D i kodomena
|
|
barjak
|
#108
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 22:46:55
|
4.1 Na¡cini zadavanja funkcija 109 K podskupovi skupa R. Domena je skup svih vrijednosti nezavisne varijable x za koje izraz f(x) ima smisla (definicija 1.7). Pri tome jednoj vrijednosti nezavisne varijable x ∈ D odgovara samo jedna vrijednost zavisne varijable y. Graf eksplicitno zadane funkcije je krivulja u ravini,
|
|
barjak
|
#109
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 22:47:52
|
funkcije realne varijable
110 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE Da x mora biti razli¡cit od nule slijedi i iz formule (4.1) jer uvr¡stavanje nule daje
2 = arccos 0 = −0, ¡sto je nemogu´ce. Zaklju¡cimo: funkcija x + arccos(xy) = 0 definirana je za x ∈ [−, 0) i na tom intervalu poprima iste vrijednosti kao eksplicitno zadana funkcija y = cos(x)/x (vidi sliku 4.3). Sama funkcija y = cos(x)/x definirana je na ve´cem podru¡cju, x ∈ R {0} (slika 4.4). -10 -5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 Slika 4.3: Implicitno zadana funkcija x + arccos(xy) = 0 Za razliku od prethodnog primjera, izrazom F(x, y) = 0 mo¡ze biti zadano vi¡se eksplicitno zadanih funkcija. U tom slu¡caju jednoj vrijednosti varijable x mo¡ze odgovarati vi¡se vrijednosti varijable y. Primjer 4.1 [Kru¡znica] Izrazom x2 + (y − 1)2 − 4 = 0 implicitno je zadana kru¡znica sa sredi¡stem u to¡cki (0, 1) radijusa 2. Na primjer, ovim izrazom eksplicitno su zadane dvije osnovne funkcije, y1(x) i y2(x), od kojih svaka predstavlja jednu polukru¡znicu. Zaista, jednad¡zba (y − 1)2 = 4 − x2 povla¡ci y − 1 = p4 − x2 ili y − 1 = −p4 − x2,
|
|
barjak
|
#110
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 22:49:13
|
na cini zadavanja funkcija
4.1 Na¡cini zadavanja funkcija 111 -10 -5 5 10 -10 -5 5 10 Slika 4.4: Funkcija y = cos(x)/x odnosno y1 = 1 +p4 − x2 i y2 = 1 −p4 − x2. Kako izraz pod korijenom mora bit ve´ci ili jednak nuli, domene su D1 = D2 = [−2, 2] (slika 4.5). Napomena 4.1 Op´cenito, izraz (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2 je implicitna jednad¡zba kru¡znice radijusa r sa sredi¡stem u to¡cki (x0, y0). Implicitno zadane funkcije ¡cesto nije mogu´ce svesti na eksplicitni oblik. Primjer 4.2 Descartesov list je krivulja zadana s izrazom x3 + y3 − 3xy = 0. Premda funkciju (slika 4.6) nije mogu´ce jednostavno rastaviti na eksplicitno zadane funkcije kao u primjeru 4.1, mo¡zemo je analizirati u parametarskom obliku (primjeri 4.4 i 4.12).
|
|
barjak
|
#111
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 22:49:58
|
funkcije realne varijable
112 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 1+sqrt(4-x**2) 1-sqrt(4-x**2) Slika 4.5: Implicitno zadana kru¡znica 4.1.4 Parametarsko zadavanje Funkcija se zadaje parametarski tako da se x i y zadaju kao funkcije parametra t, x = ’(t) y = (t), t ∈ T ⊆ R. Graf parametarski zadane funkcije je krivulja u ravini,
|
|
barjak
|
#112
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 22:50:52
|
na cini zadavanja funkcija
4.1 Na¡cini zadavanja funkcija 113 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 Slika 4.6: Descartesov list Primjer 4.3 Cikloida je krivulja koju opisuje fiksna to¡cka kru¡znice kada se ta kru¡znica kotrlja bez klizanja po pravcu. Parametarska jednad¡zba cikloide glasi (slika 4.7) x = r(t − sin t) y = r(1 − cos t), t ∈ R. r r 2*r*pi Slika 4.7: Cikloida Zadatak 4.2 (a) Epicikloida je krivulja koju opisuje to¡cka na kru¡znici kada se ta kru¡znica bez klizanja kotrlja po vanjskom rubu druge kru¡znice. Hipocikloida je krivulja koju opisuje to¡cka na kru¡znici kada se ta kru¡znica
|
|
barjak
|
#113
|
Posts: 706
31. Iyu 2009. 22:51:46
|
funkcije realne varijable
114 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE bez klizanja kotrlja po unutra¡snjem rubu druge kru¡znice. Nadite jednad ¡zbe epicikloide i hipocikloide u matemati¡ckom priru¡cniku i nacrtajte te krivulje pomo´cu programa NetPlot. (b) Izvedite implicitnu jednad¡zbu cikloide: x +p2ry − y2 − r arccos r − y r = 0. © Kako glasi jednad¡zba cikloide koja polazi iz to¡cke (1, 0)? Provjerite rje¡senje pomo´cu programa NetPlot. Primjer 4.4 Izvedimo parametarsku jednad¡zbu Descartesovog lista iz primjera 4.2. Iz jednad¡zbe x3 + y3 − 3xy = 0 vidimo da krivulja prolazi kroz to¡cku (0, 0). Ako je x, y 6= 0, tada jednad¡zbu mo¡zemo podijeliti s y3 ¡sto daje x3 y3 + 1 − 3 x y · 1 y = 0. Uvedimo novu varijablu t = x y ¡sto daje t3 + 1 − 3t 1 y = 0. Dakle, y = 3 t t3 + 1 , x = ty = 3 t2 t3 + 1 , t ∈ R {−1}. Zadatak 4.3 Koje dijelove Descartesovog lista na slici 4.6 dobijemo kada parametar t poprima vrijednosti u intervalima (−∞,−1), (−1, 0), [0, 1) i [1,∞)? Kod rje¡savanja zadatka mo¡zete koristiti program NetPlot. U ovoj i sljede´coj glavi vidjet ´cemo da su najbolje razvijeni teoretski rezultati za analiziranje eksplicitno zadanih funkcija, dok se implicitno i parametarski zadane funkcije analiziraju pomo´cu odgovaraju´cih prilagodbi tih rezultata. Stoga je kod ispitivanja parametarski zadanih funkcija va¡zno znati kada je i na kojem podru¡cju s x i y eksplicitno zadana funkcija y = f(x) ili x = g(y). Pri tome je va¡zno uo¡citi da su kod parametarski zadanih funkcija varijable x i y ravnopravne. Sljede´ci teorem nam daje uvjete za postojanje funkcije y = f(x), dok se analogni teorem za slu¡caj funkcije x = g(y) dobije zamjenom varijabli.
|
|
Səhifələr: Əvvəlki 1 . . . 5 6 7 [8] 9 10 Sonraki |
|
You haven`t enough privilegies to reply in this forum.
|