| გვერდები : Previous 1 . . . 6 7 8 [9] 10 Next |
|
barjak
|
#1
|
Posts: 706
30. � 2009. 10:09:20
|
matematika -tehnicki fakultet
Predgovor
Ova knjiga namijenjena je studentima tehni¡ckih i prirodnih znanosti, a
u prvom redu studentima Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje
u Splitu (FESB). U njoj je izlo¡zeno gradivo kolegija ”Matematika 1” po
sadr¡zaju koji se predaje na FESB-u. Obradena su poglavlja Osnove matematike,
Linearna algebra, Vektorska algebra i analiti¡cka geometrija, Funkcije
realne varijable, Derivacije i primjene, te Nizovi i redovi. Sli¡can sadr¡zaj nalazi
se u ve´cini istoimenih kolegija koji se predaju na tehni¡ckim i prirodoslovnim
fakultetima.
Budu´ci se radi o standardnom sadr¡zaju, nije citirana posebna literatura.
Spomenut ´cu samo neke od knjiga koje su utjecale na sadr¡zaj, a koje preporu
¡cujem i ¡citatelju:
D. Blanu¡sa, Vi¡sa matematika, I. dio (1. i 2. svezak), Tehni¡cka knjiga,
Zagreb, 1973.
L. Krni´c i Z. ¡Siki´c, Ra¡cun diferencijalni i integralni, I. dio, ¡Skolska knjiga,
Zagreb, 1992.
N. Ugle¡si´c, Predavanja iz matemati¡cke analize I, Svu¡cili¡ste u Splitu, Split,
1989.
B. P. Demidovi´c, Zadaci i rije¡seni primjeri iz vi¡se matematike, Tehni¡cka
knjiga, Zagreb, 1978.
U izradi ovog ud¡zbenika takoder je kori¡steno iskustvo i zabilje¡ske biv¡sih i
sada¡snjih nastavnika matematike na FESB-u pa im ovom prilikom iskazujem
svoju zahvalnost. Za pa¡zljivo ¡citanje teksta i korisne primjedbe tijekom rada
zahvaljujem se kolegi Marku Mati´cu.
U Splitu, rujna 2002.
|
|
|
barjak
|
#114
|
Posts: 706
31. � 2009. 22:54:19
|
funkcije realne varijable
116 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
je parna za n paran, a neparna za n neparan pa odatle i nazivi:
f(−x) = (−x)n = (−1)nxn = (−1)nf(x).
Funkcija |x| je parna: ako je x > 0, tada je −x < 0 pa vrijedi
| − x| = −(−x) = x = |x|,
a ako je x < 0 tada je −x > 0 pa vrijedi
| − x| = −x = |x|.
Definicija 4.3 Funkcija f je rastu´ca ili uzlazna na intervalu A ⊆ D ako
(∀x1, x2 ∈ A) x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2).
Funkcija f je strogo rastu´ca na intervalu A ⊆ D ako
(∀x1, x2 ∈ A) x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
Sli¡cno, funkcija f je padaju´ca ili silazna na intervalu A ⊆ D ako
(∀x1, x2 ∈ A) x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2),
a strogo padaju´ca na intervalu A ⊆ D ako
(∀x1, x2 ∈ A) x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
Ako je A = D tada ka¡zemo da je funkcija f (strogo) rastu´ca ili padaju´ca bez
navodenja skupa.
Ako je funkcija (strogo) rastu´ca ili padaju´ca, jo¡s ka¡zemo i da je (strogo) monotona.
Funkcija je po dijelovima monotona ako se podru¡cje definicije D mo¡ze rastaviti
na kona¡cno mnogo podintervala takvih da je na svakom od njih funkcija
monotona.
Na primjer, funkcija |x| je strogo padaju´ca na intervalu (−∞, 0] i strogo
rastu´ca na intervalu [0,∞), dakle po dijelovima strogo monotona. Konstantna
funkcija f(x) = 2 (slika 4.17) je monotona i to istovremeno i rastu´ca i padaju´ca
na ¡citavoj domeni (ali ne strogo).
Definicija 4.4 Funkcija f je periodi¡cna ako postoji broj P 6= 0 takav da za
svaki x ∈ D vrijedi
f(x + P) = f(x).
Tada o¡cito mora vrijediti x + P ∈ D. Najmanji pozitivni P s ovim svojstvom
zove se osnovni period ili period funkcije f.
|
|
|
barjak
|
#115
|
Posts: 706
31. � 2009. 22:55:13
|
Primjeri periodi¡cnih funkcija su trigonometrijske funkcije.
Primjer 4.5 Funkcija najve´ce cijelo, [x] : R → Z je definirana s
[x] = k, k ≤ x < k + 1, k ∈ Z.
Definirajmo funkciju f : R → R s
f(x) = x − [x].
Kako je 0 ≤ f(x) < 1, to je Rf = [0, 1). Nadalje, za svaki n ∈ N vrijedi
f(x+n) = x+n−[x+n] = x+n−([x]+n) = x+n−[x]−n = x−[x] = f(x)
pa je f periodi¡cna funkcija s osnovnim periodom P = 1.
Zadatak 4.4 Nacrtajte funkcije [x] i f iz primjera 4.5.
4.3 Limes
Pojam limesa je jedan od najva¡znijih pojmova za razumijevanje analize
funkcija. U ovom poglavlju definirat ´cemo limes funkcije i dati njegova svojstva.
Takoder ´cemo definirati limes slijeva i zdesna, limes u beskona¡cnosti i
beskona¡can limes.
Definicija 4.5 Ako se vrijednost funkcije f(x) pribli¡zava vrijednosti a kada
se nezavisna varijabla x pribli¡zava to¡cki x0, tada ka¡zemo da f(x) te¡zi prema
a kada x te¡zi prema x0, odnosno
f(x) → a kada x → x0.
Broj a je limes ili grani¡cna vrijednost funkcije f kada x te¡zi prema x0, odnosno
lim
x→x0
f(x) = a.
Pored ove, vi¡se intuitivne definicije limesa, imamo i matemati¡cku definiciju:
lim
x→x0
f(x) = a
ako (slika 4.8)
(∀" > 0) (∃ > 0) x ∈ D {x0} ∧ |x −x0| < ⇒ |f(x)−a| < ". (4.3)
Ako limx→x0 f(x) postoji, tada ka¡zemo da funkcija f konvergira u to¡cki x0.
Ako limx→x0 f(x) ne postoji, tada ka¡zemo da funkcija f divergira u to¡cki x0.
|
|
|
barjak
|
#116
|
Posts: 706
31. � 2009. 22:55:59
|
funkcije realne varijable
118 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
Iako izgleda slo¡zeno, precizna definicija limesa (4.3) nu¡zna je za dokazivanje
raznih svojstava limesa kao u teoremima 4.2 i 4.3.
Napomena 4.2 (1) Veli¡cine " i u definiciji (4.3) su op´cenito mali brojevi
(vidi sliku 4.8).
(2) Iz definicije 4.5 vidimo da funkcija f mo¡ze imati limes u nekoj to¡cki, a
da nije definirana u toj to¡cki, ali mora biti definirana u nekoj okolini te
to¡cke.
x0
a
aa+
e
x
0+ d d 0-
e
x
Slika 4.8: Limes funkcije
Slika 4.8 prikazuje situaciju iz relacije (4.3). Drugim rije¡cima, za svaki
interval oko to¡cke a postoji interval oko to¡cke x0, takav da se vrijednost funkcije
nalazi u prvom intervalu, ¡cim se x nalazi u drugom intervalu. U ovom
slu¡caju se za x iz drugog intervala vrijednosti funkcije nalaze u u¡zem intervalu,
no taj interval je sadr¡zan u polaznom intervalu oko a pa je relacija (4.3)
zadovoljena.
Doka¡zimo prvi teorem o limesu.
Teorem 4.2 Limes je jedinstven.
Dokaz. Dokaz ´cemo provesti pomo´cu kontradikcije. Pretpostavimo suprotno
od tvrdnje teorema, odnosno da postoje dva razli¡cita limesa u to¡cki x0,
lim
f(x) = a i lim
f(x) = b.
|
|
|
barjak
|
#117
|
Posts: 706
31. � 2009. 22:57:32
|
4.3 Limes 119
Odaberimo " = (b − a)/3. Prema relaciji (4.3) postoje a i b takvi da
|x−x0| < a ⇒ f(x) ∈ (a−", a+") ∧ |x−x0| < b ⇒ f(x) ∈ (b−", b+").
Tada bi za = min{a, b} moralo vrijediti
|x − x0| < ⇒ f(x) ∈ (a − ", a + ") ∧ f(x) ∈ (b − ", b + ").
No, kako su intervali na desnoj strani disjunktni zbog na¡seg izbora ", to je
nemogu´ce. Dobili smo kontradikciju pa je teorem dokazan.
4.3.1 Svojstva limesa
Za prakti¡cno ra¡cunanje limesa ne koristimo relaciju (4.3), nego svojstva
limesa i osnovne limese koje ´cemo upoznati tijekom predavanja.
Teorem 4.3 (Osnovna svojstva limesa) Neka funkcije f i g imaju limese
kada x → x0. Tada vrijedi
lim
x→x0
(f + g)(x) = lim
x→x0
f(x) + lim
x→x0
g(x),
lim
x→x0
(f − g)(x) = lim
x→x0
f(x) − lim
x→x0
g(x),
lim
x→x0
(f · g)(x) = lim
x→x0
f(x) · lim
x→x0
g(x),
lim
x→x0 f
g(x) =
limx→x0 f(x)
limx→x0 g(x)
, uz lim
x→x0
g(x) 6= 0.
Dokaz. Doka¡zimo prvo svojstvo. Odaberimo " > 0. Prema relaciji (4.3)
postoje f i g takvi da
|x − x0| < f ⇒ |f(x) − a| <
"
2 ∧ |x − x0| < g ⇒ |g(x) − b| <
"
2
,
pri ¡cemu su a i b odgovaraju´ci limesi. Neka je = min{f , g}. Tada |x−x0| <
povla¡ci
|(f +g)(x)−(a+b)| = |f(x)−a+g(x)−b| ≤ |f(x)−a|+|g(x)−b| <
"
2
+
"
2
= "
i tvrdnja je dokazana. U gornjoj nejednakosti koristili smo nejednakost trokuta
za apsolutnu vrijednost iz teorema 1.10 (ii).
Ostale tvrdnje dokazuju se na sli¡can na¡cin pomo´cu relacije (4.3).
|
|
|
barjak
|
#118
|
Posts: 706
31. � 2009. 22:58:53
|
funkcije realne varijable
120 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
Posebno, za konstantu c vrijedi
lim
x→x0
(c + f(x)) = c + lim
x→x0
f(x),
lim
x→x0
(cf(x)) = c lim
x→x0
f(x),
lim
x→x0
c
f(x)
=
c
limx→x0 f(x)
, lim
x→x0
f(x) 6= 0.
Sljede´ca dva teorema navodimo bez dokaza.
Teorem 4.4 (Pravilo uklije¡stene funkcije) Neka je
lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
g(x) = a.
Ako postoji > 0 takav da za funkciju h vrijedi
x ∈ (x0 − ) ∪ (x0 + ) ⇒ f(x) ≤ h(x) ≤ g(x),
tada je takoder
lim
x→x0
h(x) = a.
Situacija opisana u teoremu prikazana je na slici 4.9
x0
a
h(x)
f(x)
g(x)
Slika 4.9: Pravilo uklije¡stene funkcije
Primjer 4.6 Doka¡zimo da je
lim
x→0
sin x
x
= 1. (4.4)
|
|
|
barjak
|
#119
|
Posts: 706
31. � 2009. 22:59:47
|
limes
4.3 Limes 121
Neka je x blizu nule. Iz slike 4.27 zaklju¡cujemo da za x > 0 vrijedi
tg x > x > sin x,
pa dijele´ci nejednakost sa sin x > 0 imamo
1
cos x
>
x
sin x
> 1.
Sli¡cno, za x < 0 vrijedi (negativni brojevi)
tg x < x < sin x,
dijele´ci nejednakost sa sin x < 0 ponovo imamo
1
cos x
>
x
sin x
> 1.
Dakle, za x 6= 0 vrijedi i recipro¡cna nejednakost
1 >
sin x
x
> cos x.
Kako je
lim
x→0
1 = 1, lim
x→0
cos x = 1,
jednakost (4.4) vrijedi po teoremu 4.6. Jednakost (4.4) se lijepo vidi i na slici
4.11.
Zadatak 4.5 Koriste´ci formulu sin 2x = 2 sin x cos x, tre´cu tvrdnju teorema
4.3 i jednakost (4.4) izra¡cunajte
lim
x→0
sin 2x
x
.
¡Cemu je jednak limes
lim
x→0
sin x
2
x
?
Teorem 4.5 (Pravilo zamjene) Neka funkcije f i g imaju iste vrijednosti
u nekoj okolini to¡cke x0, (x0 − , x0 + ), osim mo¡zda u samoj to¡cki x0. Tada
je
lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
g(x).
|
|
|
barjak
|
#120
|
Posts: 706
31. � 2009. 23:00:42
|
funkcije realne varijable
122 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
4.3.2 Limes slijeva i zdesna
Kada nezavisna varijabla x te¡zi k x0 slijeva ili zdesna, limesi ne moraju
biti jednaki.
Vrijednost a je limes slijeva funkcije f u to¡cki x0, odnosno
lim
x→x0−0
f(x) = a,
ako
(∀" > 0) (∃ > 0) x ∈ D ∩ (x0 − , x0) ⇒ |f(x) − a| < ".
Sli¡cno, vrijednost a je limes zdesna funkcije f u to¡cki x0, odnosno
lim
x→x0+0
f(x) = a,
ako
(∀" > 0) (∃ > 0) x ∈ D ∩ (x0, x0 + ) ⇒ |f(x) − a| < ".
Napomena 4.3 Svojstva limesa iz poglavlja 4.3.1 vrijede i za limese s lijeva
i zdesna.
Primjer 4.7 Funkcija predznak ili signum definirana je na sljede´ci na¡cin:
sign : R {0} → R, sign(x) =
x
|x|
.
¡Cesto se po dogovoru uzima sign(0) = 1 (vidi sliku 4.10). Odredimo limese
slijeva i zdesna u to¡cki x0 = 0: za x > 0 vrijedi sign(x) = x/x = 1 pa je
lim
x→x0+0
x
|x|
= 1.
Za x < 0 vrijedi sign(x) = x/(−x) = −1 pa je
lim
x→x0−0
x
|x|
= −1.
Iz slike 4.10 vidimo da za svaki " > 0 mo¡zemo uzeti bilo koji > 0.
|
|
|
barjak
|
#121
|
Posts: 706
31. � 2009. 23:01:31
|
limes
4.3 Limes 123
1
-1
Slika 4.10: Funkcija sign(x)
4.3.3 Limes u beskona¡cnosti
Ako je podru¡cje definicije D neograni¡cene s jedne ili s obje strane, zanima
nas postoji li limes funkcije kada nezavisna varijabla x te¡zi k −∞ ili +∞.
Vrijednost a je limes funkcije f kada x → +∞ (limes u desnom kraju),
odnosno
lim
x→+∞
f(x) = a,
ako
(∀" > 0) (∃M > 0) x ∈ D ∧ x > M ⇒ |f(x) − a| < ".
Sli¡cno, vrijednost a je limes funkcije f kada x → −∞ (limes u lijevom kraju),
odnosno
lim
x→−∞
f(x) = a,
ako
(∀" > 0) (∃M < 0) x ∈ D ∧ x < M ⇒ |f(x) − a| < ".
Napomena 4.4 Svojstva limesa iz poglavlja 4.3.1 vrijede i za limese u beskona
¡cnosti.
Primjer 4.8 a) Kako je funkcija sinus omedena, | sin x| ≤ 1, vrijedi (vidi
sliku 4.11)
lim
x→+∞
sin x
x
= 0, lim
x→−∞
sin x
x
= 0.
b) Funkcija f(x) = 1/x o¡cito te¡zi k nuli kada x → +∞ i kada x → −∞. Za
razliku od prvog primjera, ovdje mo¡zemo ¡cak odrediti da li f(x) → 0 s
gornje ili donje strane (vidi sliku 4.12):
lim
x→+∞
1
x
= 0+, lim
x→−∞
1
x
= 0−.
|
|
|
barjak
|
#122
|
Posts: 706
31. � 2009. 23:02:28
|
funkcije realne varijable
124 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
e
−e M
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
10 20 30 40 50
Slika 4.11: Funkcija sin x/x
4.3.4 Beskona¡can limes
Kada x → x0 takoder je mogu´ce da vrijednosti funkcije f te¡ze u beskona
¡cnost.
Funkcija f te¡zi u +∞ kada x → x0, odnosno
lim
x→x0
f(x) = +∞,
ako
(∀M > 0) (∃ > 0) x ∈ D {x0} ∧ |x − x0| < ⇒ f(x) > M.
Sli¡cno, funkcija f te¡zi u −∞ kada x → x0, odnosno
lim
x→x0
f(x) = −∞,
ako
(∀M < 0) (∃ > 0) x ∈ D {x0} ∧ |x − x0| < ⇒ f(x) < M.
Napomena 4.5 Beskona¡cne limese slijeva i zdesna definiramo na sli¡can na¡cin.
Svojstva limesa iz poglavlja 4.3.1 vrijede i za beskona¡cne limese.
Na primjer, lako se vidi da je (slika 4.13)
lim
x→0−0
1
x
= −∞, lim
x→0+0
1
x
= +∞.
|
|
|
barjak
|
#123
|
Posts: 706
31. � 2009. 23:03:37
|
neprekidnost
4.4 Neprekidnost 125
e
M
Slika 4.12: Funkcija 1/x
Zadatak 4.6 Koji su limesi funkcija
f(x) =
1
x2 , g(x) =
1
x3
kada x → 0 − 0, x → 0 + 0, x → +∞ i x → −∞ ?
4.4 Neprekidnost
Definirat ´cemo svojstvo neprekidnosti, dati svojstva neprekidnih funkcija,
opisati vrste prekida koje funkcija mo¡ze imati te definirati asimptote i opisati
postupak za njihovo nala¡zenje.
Intuitivna definicija neprekidnosti je sljede´ca: funkcija je neprekidna ako
njen graf mo¡zemo nacrtati bez podizanja olovke s papira. Medutim, ova defi-
nicija nas ne zadovoljava jer pomo´cu nje nismo u mogu´cnosti dokazati razna
svojstva neprekidnih funkcija koja koristimo u analizi. Stroga matemati¡cka
definicija neprekidnosti koristi pojam limesa.
Definicija 4.6 Funkcija f je neprekidna u to¡cki x0 ∈ D ako je
lim
x→x0
f(x) = f(x0).
|
|
|
barjak
|
#124
|
Posts: 706
31. � 2009. 23:04:33
|
funkcije realne varijable
126 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
d
M
Slika 4.13: Beskona¡can limes
Funkcija f je neprekidna na skupu A ⊆ D ako je neprekidna u svakoj to¡cki
skupa A. Funkcija f je neprekidna ako je neprekidna u svakoj to¡cki svoga
podru¡cja definicije D.
Pomo´cu ove definicije i definicije limesa (4.3) mo¡zemo dokazati nekoliko
izuzetno va¡znih svojstava neprekidnih funkcija. Tri teorema u sljede´cem poglavlju
navodimo bez dokaza.
4.4.1 Svojstva neprekidnih funkcija
Teorem 4.6 Neka su funkcije f i g neprekidne u to¡cki x (na skupu A). Tada
su u to¡cki x (na skupu A) neprekidne i funkcije f + g, f − g, f · g i
f
g
uz
g(x) 6= 0 (g(x) 6= 0 za svaki x ∈ A).
Dokaz ovog teorema sli¡can je dokazu teorema 4.3.
Teorem 4.7 (i) Ako je funkcija f neprekidna u to¡cki x, a funkcija g neprekidna
u to¡cki y = f(x), tada je kompozicija g ◦ f neprekidna u to¡cki
x.
|
|
|
barjak
|
#125
|
Posts: 706
31. � 2009. 23:05:30
|
4.4 Neprekidnost 127
(ii) Ako je
lim
x→x0
f(x) = y
i ako je funkcija g neprekidna u to¡cki y, tada je
lim
x→x0
g(f(x)) = g
|
|
|
barjak
|
#126
|
Posts: 706
31. � 2009. 23:06:59
|
128 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
a
b
c
d
e
Slika 4.14: Neprekidna funkcija
4.4.2 Vrste prekida
Razlikujemo tri vrste prekida funkcije: uklonjivi prekid, prekid prve vrste
i prekid druge vrste.
Definicija 4.7 Neka je funkcija f definirana u nekoj okolini (x0 − ", x0 + "),
osim mo¡zda u samoj to¡cki x0. Funkcija f ima uklonjivi prekid u to¡cki x0 ako
je
lim
x→x0−0
f(x) = lim
x→x0+0
f(x) = a ∈ R,
pri ¡cemu f ili nije definirana u to¡cki x0 ili je f(x0) 6= a. Prekid se ukloni tako
¡sto se definira f(x0) = a.
Funkcija f ima prekid prve vrste u to¡cki x0 ako su limesi slijeva i zdesna u
to¡cki x0 kona¡cni i razli¡citi.
Funkcija f ima prekid druge vrste u to¡cki x0 ako je barem jedan od limesa
slijeva ili zdesna beskona¡can ili ne postoji.
Na primjer, funkcija f(x) = x2/x ima uklonjivi prekid u to¡cki x = 0.
Prekid se ukloni tako ¡sto definiramo f(0) = 0, u kojem slu¡caju dobijemo
neprekidnu funkciju f(x) = x. Funkcija sign(x) (slika 4.10) ima u to¡cki x = 0
|
|
|
barjak
|
#127
|
Posts: 706
31. � 2009. 23:07:47
|
neprekidnost
4.4 Neprekidnost 129
prekid prve vrste. Naime, u toj to¡cki postoje limesi slijeva i zdesna koji su
kona¡cni, ali razli¡citi. Funkcije x−1 (slika 4.12), x−2, x−3, . . . , sve imaju prekid
druge vrste u to¡cki x = 0, jer su limesi s obje strane beskona¡cni.
Primjer 4.10 Navodimo dva zanimljiva primjera prekida druge vrste.
a) Funkcija
f(x) = (0, x ≤ 0
sin 1
x , x > 0
ima prekid druge vrste u to¡cki x = 0 (vidi sliku 4.15). Naime, funkcija sin 1
x
sve br¡ze titra kada x → 0 + 0 pa limes zdesna ne postoji (u svakom, ma
koliko malom, intervalu oko nule funkcija poprimi sve vrijednosti izmedu
−1 i 1).
b) Funkcija f : R → {0, 1} definirana s
f(x) = (1, x ∈ Q
0, x ∈ R Q
ima u svakoj to¡cki prekid druge vrste. Naime, kako su po teoremu 1.9 (ii)
i (iii) skupovi R i Q gusti jedan u drugom, funkcija nema limes ni u jednoj
to¡cki (u svakom, ma koliko malom, intervalu oko bilo koje to¡cke funkcija
beskona¡cno puta poprimi vrijednost 0 i vrijednost 1).
1
-1
-2 -1 0 1 2 3
Slika 4.15: Funkcija sin 1
x
|
|
| გვერდები : Previous 1 . . . 6 7 8 [9] 10 Next |
|
You haven`t enough privilegies to reply in this forum.
|
