Ljubavni Sastanak Upoznavanje

Kupovina Prodaja

Sprachen :
:: Hauptseite
:: Registrieren
:: Suchen
:: Forum
:: Chat
:: Blogs
:: Articles
:: FAQ
:: erweiterte Suche
:: Links
:: Statistik
:: Membership


Femina Magazin

YuPortal

Ljubavni Sastanak na Fejsbuku
Svako vece od 20 casova okupljanje u Pricaonici. Dobrodosli!

Forum
Forum :: Search by forum :: Forum Options :: Forum`s Top

3. Opšte teme > Nauka > matematika -tehnicki fakultet

Seiten : Vorschau 1 . . . 6 7 8 [9] 10 Nächste
barjak #1
Posts: 706


30. Jul 2009. 10:09:20
matematika -tehnicki fakultet

Predgovor
Ova knjiga namijenjena je studentima tehni¡ckih i prirodnih znanosti, a
u prvom redu studentima Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje
u Splitu (FESB). U njoj je izlo¡zeno gradivo kolegija ”Matematika 1” po
sadr¡zaju koji se predaje na FESB-u. Obradena su poglavlja Osnove matematike,
Linearna algebra, Vektorska algebra i analiti¡cka geometrija, Funkcije
realne varijable, Derivacije i primjene, te Nizovi i redovi. Sli¡can sadr¡zaj nalazi
se u ve´cini istoimenih kolegija koji se predaju na tehni¡ckim i prirodoslovnim
fakultetima.
Budu´ci se radi o standardnom sadr¡zaju, nije citirana posebna literatura.
Spomenut ´cu samo neke od knjiga koje su utjecale na sadr¡zaj, a koje preporu
¡cujem i ¡citatelju:
D. Blanu¡sa, Vi¡sa matematika, I. dio (1. i 2. svezak), Tehni¡cka knjiga,
Zagreb, 1973.
L. Krni´c i Z. ¡Siki´c, Ra¡cun diferencijalni i integralni, I. dio, ¡Skolska knjiga,
Zagreb, 1992.
N. Ugle¡si´c, Predavanja iz matemati¡cke analize I, Svu¡cili¡ste u Splitu, Split,
1989.
B. P. Demidovi´c, Zadaci i rije¡seni primjeri iz vi¡se matematike, Tehni¡cka
knjiga, Zagreb, 1978.
U izradi ovog ud¡zbenika takoder je kori¡steno iskustvo i zabilje¡ske biv¡sih i
sada¡snjih nastavnika matematike na FESB-u pa im ovom prilikom iskazujem
svoju zahvalnost. Za pa¡zljivo ¡citanje teksta i korisne primjedbe tijekom rada
zahvaljujem se kolegi Marku Mati´cu.
U Splitu, rujna 2002.
barjak #114
Posts: 706


31. Jul 2009. 22:54:19
funkcije realne varijable

116 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
je parna za n paran, a neparna za n neparan pa odatle i nazivi:
f(−x) = (−x)n = (−1)nxn = (−1)nf(x).
Funkcija |x| je parna: ako je x > 0, tada je &#8722;x < 0 pa vrijedi
| &#8722; x| = &#8722;(&#8722;x) = x = |x|,
a ako je x < 0 tada je &#8722;x > 0 pa vrijedi
| &#8722; x| = &#8722;x = |x|.
Definicija 4.3 Funkcija f je rastu´ca ili uzlazna na intervalu A &#8838; D ako
(&#8704;x1, x2 &#8712; A) x1 < x2 &#8658; f(x1) &#8804; f(x2).
Funkcija f je strogo rastu´ca na intervalu A &#8838; D ako
(&#8704;x1, x2 &#8712; A) x1 < x2 &#8658; f(x1) < f(x2).
Sli¡cno, funkcija f je padaju´ca ili silazna na intervalu A &#8838; D ako
(&#8704;x1, x2 &#8712; A) x1 < x2 &#8658; f(x1) &#8805; f(x2),
a strogo padaju´ca na intervalu A &#8838; D ako
(&#8704;x1, x2 &#8712; A) x1 < x2 &#8658; f(x1) > f(x2).
Ako je A = D tada ka¡zemo da je funkcija f (strogo) rastu´ca ili padaju´ca bez
navodenja skupa.
Ako je funkcija (strogo) rastu´ca ili padaju´ca, jo¡s ka¡zemo i da je (strogo) monotona.
Funkcija je po dijelovima monotona ako se podru¡cje definicije D mo¡ze rastaviti
na kona¡cno mnogo podintervala takvih da je na svakom od njih funkcija
monotona.
Na primjer, funkcija |x| je strogo padaju´ca na intervalu (&#8722;&#8734;, 0] i strogo
rastu´ca na intervalu [0,&#8734;), dakle po dijelovima strogo monotona. Konstantna
funkcija f(x) = 2 (slika 4.17) je monotona i to istovremeno i rastu´ca i padaju´ca
na ¡citavoj domeni (ali ne strogo).
Definicija 4.4 Funkcija f je periodi¡cna ako postoji broj P 6= 0 takav da za
svaki x &#8712; D vrijedi
f(x + P) = f(x).
Tada o¡cito mora vrijediti x + P &#8712; D. Najmanji pozitivni P s ovim svojstvom
zove se osnovni period ili period funkcije f.
barjak #115
Posts: 706


31. Jul 2009. 22:55:13


Primjeri periodi¡cnih funkcija su trigonometrijske funkcije.
Primjer 4.5 Funkcija najve´ce cijelo, [x] : R &#8594; Z je definirana s
[x] = k, k &#8804; x < k + 1, k &#8712; Z.
Definirajmo funkciju f : R &#8594; R s
f(x) = x &#8722; [x].
Kako je 0 &#8804; f(x) < 1, to je Rf = [0, 1). Nadalje, za svaki n &#8712; N vrijedi
f(x+n) = x+n&#8722;[x+n] = x+n&#8722;([x]+n) = x+n&#8722;[x]&#8722;n = x&#8722;[x] = f(x)
pa je f periodi¡cna funkcija s osnovnim periodom P = 1.
Zadatak 4.4 Nacrtajte funkcije [x] i f iz primjera 4.5.
4.3 Limes
Pojam limesa je jedan od najva¡znijih pojmova za razumijevanje analize
funkcija. U ovom poglavlju definirat ´cemo limes funkcije i dati njegova svojstva.
Takoder ´cemo definirati limes slijeva i zdesna, limes u beskona¡cnosti i
beskona¡can limes.
Definicija 4.5 Ako se vrijednost funkcije f(x) pribli¡zava vrijednosti a kada
se nezavisna varijabla x pribli¡zava to¡cki x0, tada ka¡zemo da f(x) te¡zi prema
a kada x te¡zi prema x0, odnosno
f(x) &#8594; a kada x &#8594; x0.
Broj a je limes ili grani¡cna vrijednost funkcije f kada x te¡zi prema x0, odnosno
lim
x&#8594;x0
f(x) = a.
Pored ove, vi¡se intuitivne definicije limesa, imamo i matemati¡cku definiciju:
lim
x&#8594;x0
f(x) = a
ako (slika 4.8)
(&#8704;" > 0) (&#8707; > 0) x &#8712; D {x0} &#8743; |x &#8722;x0| <  &#8658; |f(x)&#8722;a| < ". (4.3)
Ako limx&#8594;x0 f(x) postoji, tada ka¡zemo da funkcija f konvergira u to¡cki x0.
Ako limx&#8594;x0 f(x) ne postoji, tada ka¡zemo da funkcija f divergira u to¡cki x0.
barjak #116
Posts: 706


31. Jul 2009. 22:55:59
funkcije realne varijable

118 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
Iako izgleda slo¡zeno, precizna definicija limesa (4.3) nu¡zna je za dokazivanje
raznih svojstava limesa kao u teoremima 4.2 i 4.3.
Napomena 4.2 (1) Veli¡cine " i  u definiciji (4.3) su op´cenito mali brojevi
(vidi sliku 4.8).
(2) Iz definicije 4.5 vidimo da funkcija f mo¡ze imati limes u nekoj to¡cki, a
da nije definirana u toj to¡cki, ali mora biti definirana u nekoj okolini te
to¡cke.
x0
a
aa+
e
x
0+ d d 0-
e
x
Slika 4.8: Limes funkcije
Slika 4.8 prikazuje situaciju iz relacije (4.3). Drugim rije¡cima, za svaki
interval oko to¡cke a postoji interval oko to¡cke x0, takav da se vrijednost funkcije
nalazi u prvom intervalu, ¡cim se x nalazi u drugom intervalu. U ovom
slu¡caju se za x iz drugog intervala vrijednosti funkcije nalaze u u¡zem intervalu,
no taj interval je sadr¡zan u polaznom intervalu oko a pa je relacija (4.3)
zadovoljena.
Doka¡zimo prvi teorem o limesu.
Teorem 4.2 Limes je jedinstven.
Dokaz. Dokaz ´cemo provesti pomo´cu kontradikcije. Pretpostavimo suprotno
od tvrdnje teorema, odnosno da postoje dva razli¡cita limesa u to¡cki x0,
lim
f(x) = a i lim
f(x) = b.
barjak #117
Posts: 706


31. Jul 2009. 22:57:32


4.3 Limes 119
Odaberimo " = (b &#8722; a)/3. Prema relaciji (4.3) postoje a i b takvi da
|x&#8722;x0| < a &#8658; f(x) &#8712; (a&#8722;", a+") &#8743; |x&#8722;x0| < b &#8658; f(x) &#8712; (b&#8722;", b+").
Tada bi za  = min{a, b} moralo vrijediti
|x &#8722; x0| <  &#8658; f(x) &#8712; (a &#8722; ", a + ") &#8743; f(x) &#8712; (b &#8722; ", b + ").
No, kako su intervali na desnoj strani disjunktni zbog na¡seg izbora ", to je
nemogu´ce. Dobili smo kontradikciju pa je teorem dokazan.
4.3.1 Svojstva limesa
Za prakti¡cno ra¡cunanje limesa ne koristimo relaciju (4.3), nego svojstva
limesa i osnovne limese koje ´cemo upoznati tijekom predavanja.
Teorem 4.3 (Osnovna svojstva limesa) Neka funkcije f i g imaju limese
kada x &#8594; x0. Tada vrijedi
lim
x&#8594;x0
(f + g)(x) = lim
x&#8594;x0
f(x) + lim
x&#8594;x0
g(x),
lim
x&#8594;x0
(f &#8722; g)(x) = lim
x&#8594;x0
f(x) &#8722; lim
x&#8594;x0
g(x),
lim
x&#8594;x0
(f · g)(x) = lim
x&#8594;x0
f(x) · lim
x&#8594;x0
g(x),
lim
x&#8594;x0 f
g(x) =
limx&#8594;x0 f(x)
limx&#8594;x0 g(x)
, uz lim
x&#8594;x0
g(x) 6= 0.
Dokaz. Doka¡zimo prvo svojstvo. Odaberimo " > 0. Prema relaciji (4.3)
postoje f i g takvi da
|x &#8722; x0| < f &#8658; |f(x) &#8722; a| <
"
2 &#8743; |x &#8722; x0| < g &#8658; |g(x) &#8722; b| <
"
2
,
pri ¡cemu su a i b odgovaraju´ci limesi. Neka je  = min{f , g}. Tada |x&#8722;x0| <
 povla¡ci
|(f +g)(x)&#8722;(a+b)| = |f(x)&#8722;a+g(x)&#8722;b| &#8804; |f(x)&#8722;a|+|g(x)&#8722;b| <
"
2
+
"
2
= "
i tvrdnja je dokazana. U gornjoj nejednakosti koristili smo nejednakost trokuta
za apsolutnu vrijednost iz teorema 1.10 (ii).
Ostale tvrdnje dokazuju se na sli¡can na¡cin pomo´cu relacije (4.3).
barjak #118
Posts: 706


31. Jul 2009. 22:58:53
funkcije realne varijable

120 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
Posebno, za konstantu c vrijedi
lim
x&#8594;x0
(c + f(x)) = c + lim
x&#8594;x0
f(x),
lim
x&#8594;x0
(cf(x)) = c lim
x&#8594;x0
f(x),
lim
x&#8594;x0
c
f(x)
=
c
limx&#8594;x0 f(x)
, lim
x&#8594;x0
f(x) 6= 0.
Sljede´ca dva teorema navodimo bez dokaza.
Teorem 4.4 (Pravilo uklije¡stene funkcije) Neka je
lim
x&#8594;x0
f(x) = lim
x&#8594;x0
g(x) = a.
Ako postoji  > 0 takav da za funkciju h vrijedi
x &#8712; (x0 &#8722; ) &#8746; (x0 + ) &#8658; f(x) &#8804; h(x) &#8804; g(x),
tada je takoder
lim
x&#8594;x0
h(x) = a.
Situacija opisana u teoremu prikazana je na slici 4.9
x0
a
h(x)
f(x)
g(x)
Slika 4.9: Pravilo uklije¡stene funkcije
Primjer 4.6 Doka¡zimo da je
lim
x&#8594;0
sin x
x
= 1. (4.4)
barjak #119
Posts: 706


31. Jul 2009. 22:59:47
limes

4.3 Limes 121
Neka je x blizu nule. Iz slike 4.27 zaklju¡cujemo da za x > 0 vrijedi
tg x > x > sin x,
pa dijele´ci nejednakost sa sin x > 0 imamo
1
cos x
>
x
sin x
> 1.
Sli¡cno, za x < 0 vrijedi (negativni brojevi)
tg x < x < sin x,
dijele´ci nejednakost sa sin x < 0 ponovo imamo
1
cos x
>
x
sin x
> 1.
Dakle, za x 6= 0 vrijedi i recipro¡cna nejednakost
1 >
sin x
x
> cos x.
Kako je
lim
x&#8594;0
1 = 1, lim
x&#8594;0
cos x = 1,
jednakost (4.4) vrijedi po teoremu 4.6. Jednakost (4.4) se lijepo vidi i na slici
4.11.
Zadatak 4.5 Koriste´ci formulu sin 2x = 2 sin x cos x, tre´cu tvrdnju teorema
4.3 i jednakost (4.4) izra¡cunajte
lim
x&#8594;0
sin 2x
x
.
¡Cemu je jednak limes
lim
x&#8594;0
sin x
2
x
?
Teorem 4.5 (Pravilo zamjene) Neka funkcije f i g imaju iste vrijednosti
u nekoj okolini to¡cke x0, (x0 &#8722; , x0 + ), osim mo¡zda u samoj to¡cki x0. Tada
je
lim
x&#8594;x0
f(x) = lim
x&#8594;x0
g(x).
barjak #120
Posts: 706


31. Jul 2009. 23:00:42
funkcije realne varijable

122 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
4.3.2 Limes slijeva i zdesna
Kada nezavisna varijabla x te¡zi k x0 slijeva ili zdesna, limesi ne moraju
biti jednaki.
Vrijednost a je limes slijeva funkcije f u to¡cki x0, odnosno
lim
x&#8594;x0&#8722;0
f(x) = a,
ako
(&#8704;" > 0) (&#8707; > 0) x &#8712; D &#8745; (x0 &#8722; , x0) &#8658; |f(x) &#8722; a| < ".
Sli¡cno, vrijednost a je limes zdesna funkcije f u to¡cki x0, odnosno
lim
x&#8594;x0+0
f(x) = a,
ako
(&#8704;" > 0) (&#8707; > 0) x &#8712; D &#8745; (x0, x0 + ) &#8658; |f(x) &#8722; a| < ".
Napomena 4.3 Svojstva limesa iz poglavlja 4.3.1 vrijede i za limese s lijeva
i zdesna.
Primjer 4.7 Funkcija predznak ili signum definirana je na sljede´ci na¡cin:
sign : R {0} &#8594; R, sign(x) =
x
|x|
.
¡Cesto se po dogovoru uzima sign(0) = 1 (vidi sliku 4.10). Odredimo limese
slijeva i zdesna u to¡cki x0 = 0: za x > 0 vrijedi sign(x) = x/x = 1 pa je
lim
x&#8594;x0+0
x
|x|
= 1.
Za x < 0 vrijedi sign(x) = x/(&#8722;x) = &#8722;1 pa je
lim
x&#8594;x0&#8722;0
x
|x|
= &#8722;1.
Iz slike 4.10 vidimo da za svaki " > 0 mo¡zemo uzeti bilo koji  > 0.
barjak #121
Posts: 706


31. Jul 2009. 23:01:31
limes

4.3 Limes 123
1
-1
Slika 4.10: Funkcija sign(x)
4.3.3 Limes u beskona¡cnosti
Ako je podru¡cje definicije D neograni¡cene s jedne ili s obje strane, zanima
nas postoji li limes funkcije kada nezavisna varijabla x te¡zi k &#8722;&#8734; ili +&#8734;.
Vrijednost a je limes funkcije f kada x &#8594; +&#8734; (limes u desnom kraju),
odnosno
lim
x&#8594;+&#8734;
f(x) = a,
ako
(&#8704;" > 0) (&#8707;M > 0) x &#8712; D &#8743; x > M &#8658; |f(x) &#8722; a| < ".
Sli¡cno, vrijednost a je limes funkcije f kada x &#8594; &#8722;&#8734; (limes u lijevom kraju),
odnosno
lim
x&#8594;&#8722;&#8734;
f(x) = a,
ako
(&#8704;" > 0) (&#8707;M < 0) x &#8712; D &#8743; x < M &#8658; |f(x) &#8722; a| < ".
Napomena 4.4 Svojstva limesa iz poglavlja 4.3.1 vrijede i za limese u beskona
¡cnosti.
Primjer 4.8 a) Kako je funkcija sinus omedena, | sin x| &#8804; 1, vrijedi (vidi
sliku 4.11)
lim
x&#8594;+&#8734;
sin x
x
= 0, lim
x&#8594;&#8722;&#8734;
sin x
x
= 0.
b) Funkcija f(x) = 1/x o¡cito te¡zi k nuli kada x &#8594; +&#8734; i kada x &#8594; &#8722;&#8734;. Za
razliku od prvog primjera, ovdje mo¡zemo ¡cak odrediti da li f(x) &#8594; 0 s
gornje ili donje strane (vidi sliku 4.12):
lim
x&#8594;+&#8734;
1
x
= 0+, lim
x&#8594;&#8722;&#8734;
1
x
= 0&#8722;.
barjak #122
Posts: 706


31. Jul 2009. 23:02:28
funkcije realne varijable

124 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
e
&#8722;e M
&#8722;0.4
&#8722;0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
10 20 30 40 50
Slika 4.11: Funkcija sin x/x
4.3.4 Beskona¡can limes
Kada x &#8594; x0 takoder je mogu´ce da vrijednosti funkcije f te¡ze u beskona
¡cnost.
Funkcija f te¡zi u +&#8734; kada x &#8594; x0, odnosno
lim
x&#8594;x0
f(x) = +&#8734;,
ako
(&#8704;M > 0) (&#8707; > 0) x &#8712; D {x0} &#8743; |x &#8722; x0| <  &#8658; f(x) > M.
Sli¡cno, funkcija f te¡zi u &#8722;&#8734; kada x &#8594; x0, odnosno
lim
x&#8594;x0
f(x) = &#8722;&#8734;,
ako
(&#8704;M < 0) (&#8707; > 0) x &#8712; D {x0} &#8743; |x &#8722; x0| <  &#8658; f(x) < M.
Napomena 4.5 Beskona¡cne limese slijeva i zdesna definiramo na sli¡can na¡cin.
Svojstva limesa iz poglavlja 4.3.1 vrijede i za beskona¡cne limese.
Na primjer, lako se vidi da je (slika 4.13)
lim
x&#8594;0&#8722;0
1
x
= &#8722;&#8734;, lim
x&#8594;0+0
1
x
= +&#8734;.
barjak #123
Posts: 706


31. Jul 2009. 23:03:37
neprekidnost

4.4 Neprekidnost 125
e
M
Slika 4.12: Funkcija 1/x
Zadatak 4.6 Koji su limesi funkcija
f(x) =
1
x2 , g(x) =
1
x3
kada x &#8594; 0 &#8722; 0, x &#8594; 0 + 0, x &#8594; +&#8734; i x &#8594; &#8722;&#8734; ?
4.4 Neprekidnost
Definirat ´cemo svojstvo neprekidnosti, dati svojstva neprekidnih funkcija,
opisati vrste prekida koje funkcija mo¡ze imati te definirati asimptote i opisati
postupak za njihovo nala¡zenje.
Intuitivna definicija neprekidnosti je sljede´ca: funkcija je neprekidna ako
njen graf mo¡zemo nacrtati bez podizanja olovke s papira. Medutim, ova defi-
nicija nas ne zadovoljava jer pomo´cu nje nismo u mogu´cnosti dokazati razna
svojstva neprekidnih funkcija koja koristimo u analizi. Stroga matemati¡cka
definicija neprekidnosti koristi pojam limesa.
Definicija 4.6 Funkcija f je neprekidna u to¡cki x0 &#8712; D ako je
lim
x&#8594;x0
f(x) = f(x0).
barjak #124
Posts: 706


31. Jul 2009. 23:04:33
funkcije realne varijable

126 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
d
M
Slika 4.13: Beskona¡can limes
Funkcija f je neprekidna na skupu A &#8838; D ako je neprekidna u svakoj to¡cki
skupa A. Funkcija f je neprekidna ako je neprekidna u svakoj to¡cki svoga
podru¡cja definicije D.
Pomo´cu ove definicije i definicije limesa (4.3) mo¡zemo dokazati nekoliko
izuzetno va¡znih svojstava neprekidnih funkcija. Tri teorema u sljede´cem poglavlju
navodimo bez dokaza.
4.4.1 Svojstva neprekidnih funkcija
Teorem 4.6 Neka su funkcije f i g neprekidne u to¡cki x (na skupu A). Tada
su u to¡cki x (na skupu A) neprekidne i funkcije f + g, f &#8722; g, f · g i
f
g
uz
g(x) 6= 0 (g(x) 6= 0 za svaki x &#8712; A).
Dokaz ovog teorema sli¡can je dokazu teorema 4.3.
Teorem 4.7 (i) Ako je funkcija f neprekidna u to¡cki x, a funkcija g neprekidna
u to¡cki y = f(x), tada je kompozicija g &#9702; f neprekidna u to¡cki
x.
barjak #125
Posts: 706


31. Jul 2009. 23:05:30


4.4 Neprekidnost 127
(ii) Ako je
lim
x&#8594;x0
f(x) = y
i ako je funkcija g neprekidna u to¡cki y, tada je
lim
x&#8594;x0
g(f(x)) = g
barjak #126
Posts: 706


31. Jul 2009. 23:06:59


128 FUNKCIJE REALNE VARIJABLE
a
b
c
d
e
Slika 4.14: Neprekidna funkcija
4.4.2 Vrste prekida
Razlikujemo tri vrste prekida funkcije: uklonjivi prekid, prekid prve vrste
i prekid druge vrste.
Definicija 4.7 Neka je funkcija f definirana u nekoj okolini (x0 &#8722; ", x0 + "),
osim mo¡zda u samoj to¡cki x0. Funkcija f ima uklonjivi prekid u to¡cki x0 ako
je
lim
x&#8594;x0&#8722;0
f(x) = lim
x&#8594;x0+0
f(x) = a &#8712; R,
pri ¡cemu f ili nije definirana u to¡cki x0 ili je f(x0) 6= a. Prekid se ukloni tako
¡sto se definira f(x0) = a.
Funkcija f ima prekid prve vrste u to¡cki x0 ako su limesi slijeva i zdesna u
to¡cki x0 kona¡cni i razli¡citi.
Funkcija f ima prekid druge vrste u to¡cki x0 ako je barem jedan od limesa
slijeva ili zdesna beskona¡can ili ne postoji.
Na primjer, funkcija f(x) = x2/x ima uklonjivi prekid u to¡cki x = 0.
Prekid se ukloni tako ¡sto definiramo f(0) = 0, u kojem slu¡caju dobijemo
neprekidnu funkciju f(x) = x. Funkcija sign(x) (slika 4.10) ima u to¡cki x = 0
barjak #127
Posts: 706


31. Jul 2009. 23:07:47
neprekidnost

4.4 Neprekidnost 129
prekid prve vrste. Naime, u toj to¡cki postoje limesi slijeva i zdesna koji su
kona¡cni, ali razli¡citi. Funkcije x&#8722;1 (slika 4.12), x&#8722;2, x&#8722;3, . . . , sve imaju prekid
druge vrste u to¡cki x = 0, jer su limesi s obje strane beskona¡cni.
Primjer 4.10 Navodimo dva zanimljiva primjera prekida druge vrste.
a) Funkcija
f(x) = (0, x &#8804; 0
sin 1
x , x > 0
ima prekid druge vrste u to¡cki x = 0 (vidi sliku 4.15). Naime, funkcija sin 1
x
sve br¡ze titra kada x &#8594; 0 + 0 pa limes zdesna ne postoji (u svakom, ma
koliko malom, intervalu oko nule funkcija poprimi sve vrijednosti izmedu
&#8722;1 i 1).
b) Funkcija f : R &#8594; {0, 1} definirana s
f(x) = (1, x &#8712; Q
0, x &#8712; R Q
ima u svakoj to¡cki prekid druge vrste. Naime, kako su po teoremu 1.9 (ii)
i (iii) skupovi R i Q gusti jedan u drugom, funkcija nema limes ni u jednoj
to¡cki (u svakom, ma koliko malom, intervalu oko bilo koje to¡cke funkcija
beskona¡cno puta poprimi vrijednost 0 i vrijednost 1).
1
-1
-2 -1 0 1 2 3
Slika 4.15: Funkcija sin 1
x
Seiten : Vorschau 1 . . . 6 7 8 [9] 10 Nächste

Du hast nicht genug Privilegien um in diesem Forum zu antworten.


Share this link:
:: EROTSKE PRICE :: SANOVNIK :: ZABAVA
| Bearbeitungszeit: 0.0232010 sek.| Mitglieder online: - 1 | Gäste online: - 1099 | Powered by Ljubavni-Sastanak.com |

Marketing | Features | RSS News Feeds | Feedback | Testimonials | Terms Of Use | Privacy Statement
Extreme eXTReMe Tracker