| Sivut : Previous 1 . . . 3 4 5 [6] 7 8 9 10 Next |
|
barjak
|
#1
|
Posts: 706
30. Hei 2009. 10:09:20
|
matematika -tehnicki fakultet
Predgovor
Ova knjiga namijenjena je studentima tehni¡ckih i prirodnih znanosti, a
u prvom redu studentima Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje
u Splitu (FESB). U njoj je izlo¡zeno gradivo kolegija ”Matematika 1” po
sadr¡zaju koji se predaje na FESB-u. Obradena su poglavlja Osnove matematike,
Linearna algebra, Vektorska algebra i analiti¡cka geometrija, Funkcije
realne varijable, Derivacije i primjene, te Nizovi i redovi. Sli¡can sadr¡zaj nalazi
se u ve´cini istoimenih kolegija koji se predaju na tehni¡ckim i prirodoslovnim
fakultetima.
Budu´ci se radi o standardnom sadr¡zaju, nije citirana posebna literatura.
Spomenut ´cu samo neke od knjiga koje su utjecale na sadr¡zaj, a koje preporu
¡cujem i ¡citatelju:
D. Blanu¡sa, Vi¡sa matematika, I. dio (1. i 2. svezak), Tehni¡cka knjiga,
Zagreb, 1973.
L. Krni´c i Z. ¡Siki´c, Ra¡cun diferencijalni i integralni, I. dio, ¡Skolska knjiga,
Zagreb, 1992.
N. Ugle¡si´c, Predavanja iz matemati¡cke analize I, Svu¡cili¡ste u Splitu, Split,
1989.
B. P. Demidovi´c, Zadaci i rije¡seni primjeri iz vi¡se matematike, Tehni¡cka
knjiga, Zagreb, 1978.
U izradi ovog ud¡zbenika takoder je kori¡steno iskustvo i zabilje¡ske biv¡sih i
sada¡snjih nastavnika matematike na FESB-u pa im ovom prilikom iskazujem
svoju zahvalnost. Za pa¡zljivo ¡citanje teksta i korisne primjedbe tijekom rada
zahvaljujem se kolegi Marku Mati´cu.
U Splitu, rujna 2002.
|
|
|
barjak
|
#72
|
Posts: 706
30. Hei 2009. 21:16:03
|
vektori
3.1 Vektori 73
P
Q
P’
Q’
Slika 3.1: Ekvivalentne usmjerene du¡zine
tada je −−→ PQ ∼ −−→ P′Q′ ako i samo ako su to¡cke PQQ′P′ susjedni vrhovi paralelograma
(vidi sliku 3.1). Ukoliko to¡cke P, Q, P′ i Q′ le¡ze na istom pravcu, tada
je −−→ PQ ∼ −−→ P′Q′ ako i samo ako vrijedi
d(P,Q) = d(P′,Q′) ∧ d(P, P′) = d(Q,Q′).
U ovom slu¡caju ka¡zemo da su to¡cke PQQ′P′ susjedni vrhovi degeneriranog
paralelograma. Stoga, ako je
−−→ PQ ∼ −−→ P′Q′ ∧ −−→ P′Q′ ∼ −−−→ P′′Q′′,
tada su to¡cke PQQ′P′ susjedni vrhovi nekog paralelograma ili degeneriranog
paralelograma, a isto vrijedi i za to¡cke P′Q′Q′′P′′. Tada su i to¡cke PQQ′′P′′
susjedni vrhovi nekog paralelograma ili degeneriranog paralelograma. Dakle
−−→ PQ ∼ −−−→ P′′Q′′ pa je relacija ∼ tranzitivna.
Vezu izmedu usmjerenih du¡zina i vektora daje nam osnovno svojstvo euklidskog
prostora: ako je P ∈ E proizvoljna to¡cka i a zadani vektor, tada postoji
jedinstvena to¡cka Q takva da je usmjerena du¡zina −−→ PQ predstavnik vektora a.
S ovim postupkom je vektor a sveden na po¡cetak P odnosno nanesen na P.
U primjenama ¡cesto pi¡semo i
a = −−→ PQ.
Premda taj zapis nije sasvim korektan jer je vektor a klasa ekvivalencije, a
−−→ PQ samo jedan predstavnik tog vektora, zbog osnovnog svojstva euklidskog
prostora uvijek je jasno o kojem se vektoru radi. Stoga uglavnom ne´cemo
praviti razliku izmedu vektora i njegovog predstavnika.
|
|
|
barjak
|
#73
|
Posts: 706
30. Hei 2009. 21:16:44
|
vektorska algebra i analiticka geometrija
74 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA
Definicija 3.2 Vektori a i b su kolinearni ako le¡ze na istom ili paralelnim
pravcima. Ako su vektori a i b kolinearni, mo¡zemo odbrati to¡cke O, A i B
koje le¡ze na istom pravcu takve da je
a = −→ OA, b = −−→ OB.
Vektori a i b imaju istu orijentaciju ako se to¡cke A i B nalaze s iste strane
to¡cke O. Vektori a i b imaju suprotnu orijentaciju ako se to¡cke A i B nalaze
s razli¡citih strana to¡cke O.
Iz definicije slijedi da su dva vektora jednaka ako su kolinearni, istog smjera
i jednake duljine. Posebno, nul-vektor je kolinearan sa svakim vektorom i za
njega nema smisla govoriti o orijentaciji.
3.2 Zbrajanje vektora
U ovom poglavlju definirat ´cemo operaciju zbrajanja vektora te dati njena
osnovna svojstva.
Definicija 3.3 Neka su zadani vektori a i b i to¡cke O, A i B takve da je
a = −→ OA, b = −−→ AB.
Zbroj vektora a i b je vektor c = −−→ OB. Ovakav na¡cin zbrajanja vektora zove
se pravilo trokuta i prikazan je na slici 3.2.
O a A
B
b
c=a+b
Slika 3.2: Zbrajanje vektora (pravilo trokuta)
Vektore takoder mo¡zemo zbrajati i po pravilu paralelograma koje je prikazano
na slici 3.3. Vi¡se vektora zbrajamo po pravilu poligona kao ¡sto je prikazano
na slici 3.4: ako su zadani vektori a1, a2, . . . , an i to¡cke O,A1,A2, . . . ,An
takve da je
a1 = −−→ OA1, a2 = −−−→ A1A2, . . . , an = −−−−−→ An−1An,
|
|
|
barjak
|
#74
|
Posts: 706
30. Hei 2009. 21:17:33
|
mnozenje vektora skalarom
3.3 Mno¡zenje vektora skalarom 75
O
a
b
a+b
Slika 3.3: Pravilo paralelograma
tada je
a = a1 + a2 + · · · + an = −−→ OAn.
Zbrajanje vektora ima sljede´ca svojstva:
Z1. (a + b) + c = a + (b + c) (asocijativnost),
Z2. a + b = b + a (komutativnost),
Z3. za nul-vektor 0 vrijedi a + 0 = 0 + a = a,
Z4. za svaki vektor a = −−→ PQ postoji suprotni vektor −a = −−→ QP takav da je
a + (−a) = a − a = 0.
Suprotni vektor je kolinearan s a, ima istu duljinu i suprotnu orijentaciju.
Svojstva Z2, Z3 i Z4 slijede direktno iz definicije zbrajanja vektora, dok je
svojstvo Z1 prikazano na slici 3.5.
3.3 Mno¡zenje vektora skalarom
Vektor a mno¡zimo s realnim brojem na sljede´ci na¡cin: ako je a = 0, tada
je
a = 0, ∀ ∈ R.
Ako je a 6= 0, odaberemo to¡cke O i A takve da je a = −→ OA. Produkt vektora a
i skalara je vektor
b = a = −−→ OB,
|
|
|
barjak
|
#75
|
Posts: 706
30. Hei 2009. 21:18:19
|
vektorska algebra i analiticka geometrija
76 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA
a
b
c
d
a+b+c+d
Slika 3.4: Pravilo poligona
a
b
c
a+b
b+c
(a+b)+c=a+(b+c)
Slika 3.5: Asocijativnost zbrajanja vektora
pri ¡cemu to¡cka B le¡zi na pravcu koji prolazi kroz to¡cke O i A i
– za > 0 to¡cka B le¡zi s iste strane to¡cke O kao to¡cka A i vrijedi
d(O,B) = · d(O,A), |b| = |a|,
– za < 0 to¡cka B le¡zi sa suprotne strane to¡cke O od to¡cke A i vrijedi
d(O,B) = −d(O,A), |b| = −|a| = || |a|.
Mno¡zenje vektora skalarom ima sljede´ca svojstva:
M1. (a + b) = a + b,
M2. ( + µ)a = a + µa,
|
|
|
barjak
|
#76
|
Posts: 706
30. Hei 2009. 21:19:45
|
prostor radijus-vektora
3.4 Prostor radijus-vektora 77
M3. (µ)a = (µa),
M4. 0 a = 0, ∀a,
M5. 1 a = a, ∀a.
3.4 Prostor radijus-vektora
U mnogim primjenama je prakti¡cno uzeti predstavnike vektora koji svi
imaju hvati¡ste u istoj to¡cki. Ako u prostoru E odaberemo to¡cku O, svakoj
to¡cki P pripada jednozna¡cno odreden vektor −−→ OP. Vektor −−→ OP je radijus-vektor
ili vektor polo¡zaja to¡cke P u odnosu na hvati¡ste O. Skup radijus vektora VO je
skup svih takvih vektora.
Zbrajanje radijus-vektora definira se kao i zbrajanje vektora u poglavlju
3.2, uz dodatak ¡sto zbroj opet mora biti u skupu VO pa se koristi pravilo
paralelograma. Pri tome vrijede svojstva Z1–Z4.
Mno¡zenje radijus-vektora skalarom definira se kao i mno¡zenje vektora skalarom
u poglavlju 3.3, pri ¡cemu vrijede svojstva M1–M5.
3.5 Koordinatizacija
Uvodenje koordinatnog sustava omogu´cava predstavljanje vektora pomo´cu
realnih brojeva. Na taj na¡cin se pojednostavnjuje rukovanje s vektorima, jer
se operacije s vektorima svode na odgovaraju´ce operacije s brojevima.
3.5.1 Koordinatizacija pravca
Koordinatizaciju pravca definiramo na sljede´ci na¡cin: odaberemo pravac p
kroz to¡cku O ∈ E te na njemu nanesemo brojevni pravac tako da je nula u to¡cki
O. Jedini¡cni vektor i definiramo kao i = −→ OI, pri ¡cemu je broju 1 brojevnog
pravca pridru¡zena to¡cka I. Vektor i je jednozna¡cno odreden i vrijedi
d(O, I) = |i| = 1.
S ovim smo na pravcu p zadali koordinatni sustav (O, i).
Svakoj to¡cki T koja le¡zi na pravcu p jednozna¡cno je pridru¡zena njena apscisa
x i vektor −→ OT. Po pravilu o mno¡zenju vektora skalarom iz poglavlja 3.3
vrijedi
−→ OT = x · −→ OI = x i.
Broj x je skalarna komponenta vektora −→ OT. Zbog jednozna¡cnosti prikaza, u
koordinatnom sustavu (O, i) koristimo sljede´ce oznake
−→ OT = {x} ili −→ OT = x.
|
|
|
barjak
|
#77
|
Posts: 706
30. Hei 2009. 21:21:45
|
vektorska algebra i analiticka geometrija
78 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA
Uvodenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s
brojevima: ako je
−→ OS = 3 i = 3, −→ OT = 2 i = 2,
tada je, na primjer,
4 (−→ OS + 2−→ OT) = 28 i = 28.
3.5.2 Koordinatizacija ravnine
U ravnini koja se nalazi u prostoru E prvo odaberemo to¡cku O kao
ishodi¡ste. Zatim odaberemo medusobno okomite pravce p i q koji le¡ze u ravnini
i prolaze kroz to¡cku O. Na pravcima p i q definiramo koordinatne sustave
(O, i) i (O, j), redom, pri ¡cemu je
i = −→ OI, j = −→ OJ, |i| = |j| = 1.
To¡cke I i J su odabrane tako da to¡cka I rotacijom oko to¡cke O za kut /2 u
pozitivnom smjeru, odnosno suprotno od kazaljke sata, prelazi u to¡cku J. S
ovim smo u ravnini zadali desni pravokutni (ortogonalni) koordinatni sustav
(O, i, j), koji je prikazan na slici 3.6.
IV III
II I
i
j
a
T Q
x
P
y
J
I
Slika 3.6: Koordinatizacija ravnine
Brojevni pravac koji smo nanijeli na pravac p zove se apscisna os ili x-os,
a brojevni pravac koji smo nanijeli na pravac q zove se ordinatna os ili y-os.
Osi dijele ravninu na ¡cetiri kvadranta i to na I., II., III. i IV. kvadrant
(slika 3.6).
|
|
|
barjak
|
#78
|
Posts: 706
31. Hei 2009. 08:35:00
|
vektorska algebra i analiticka geometrija
78 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA
Uvodenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s
brojevima: ako je
−→ OS = 3 i = 3, −→ OT = 2 i = 2,
tada je, na primjer,
4 (−→ OS + 2−→ OT) = 28 i = 28.
3.5.2 Koordinatizacija ravnine
U ravnini koja se nalazi u prostoru E prvo odaberemo to¡cku O kao
ishodi¡ste. Zatim odaberemo medusobno okomite pravce p i q koji le¡ze u ravnini
i prolaze kroz to¡cku O. Na pravcima p i q definiramo koordinatne sustave
(O, i) i (O, j), redom, pri ¡cemu je
i = −→ OI, j = −→ OJ, |i| = |j| = 1.
To¡cke I i J su odabrane tako da to¡cka I rotacijom oko to¡cke O za kut /2 u
pozitivnom smjeru, odnosno suprotno od kazaljke sata, prelazi u to¡cku J. S
ovim smo u ravnini zadali desni pravokutni (ortogonalni) koordinatni sustav
(O, i, j), koji je prikazan na slici 3.6.
IV III
II I
i
j
a
T Q
x
P
y
J
I
Slika 3.6: Koordinatizacija ravnine
Brojevni pravac koji smo nanijeli na pravac p zove se apscisna os ili x-os,
a brojevni pravac koji smo nanijeli na pravac q zove se ordinatna os ili y-os.
Osi dijele ravninu na ¡cetiri kvadranta i to na I., II., III. i IV. kvadrant
(slika 3.6).
|
|
|
barjak
|
#79
|
Posts: 706
31. Hei 2009. 08:35:40
|
koordinarizacija
3.5 Koordinatizacija 79
Neka to¡cka T pripada ravnini . Pravac kroz to¡cku T, koji je paralelan s
pravcem q, sije¡ce pravac p u to¡cki P. To¡cka P u koordinatnom sustavu (O, i)
ima koordinatu x. Pravac kroz to¡cku T koji je paralelan s pravcem p sije¡ce
pravac q u to¡cki Q. To¡cka Q u koordinatnom sustavu (O, j) ima koordinatu y.
x i y su koordinate to¡cke T = (x, y) u sustavu (O, i, j), odnosno x je apscisa,
a y je ordinata to¡cke T (slika 3.6).
Neka je a = −→ OT radijus-vektor u ravnini . Prema pravilu o zbrajanju
vektora iz poglavlja 3.2 vrijedi (slika 3.6)
−→ OT = x−→ OI + y −→ OJ,
odnosno
a = x i + y j.
Brojevi x i y su skalarne komponente radijus-vektora −→ OT odnosno vektora a.
Radijus-vektori x−→ OI i y−→ OJ su vektorske komponente radijus-vektora −→ OT, a
vektori x i i y j su vektorske komponente vektora a.
Kako su skalarne komponente jednozna¡cno odredene to¡ckom T, za ozna¡cavanje
vektora koristimo skra´cene zapise
a = {x, y}, a = x y, a = x
y.
Vidimo da vektor u ravnini mo¡zemo zapisati kao ret¡canu matricu dimenzije
1 × 2 ili kao stup¡canu matricu dimenzije 2 × 1. Zbrajanje vektora i mno¡zenje
vektora skalarom stoga odgovara zbrajanju matrica i mno¡zenju matrica skalarom.
Primjer 3.1 Neka je
a = 2 i − 3 j, b = i + j.
Tada je
3 (a + b) = 3 (2 i − 3 j + i + j) = 9 i − 6 j,
odnosno
3 (a + b) = 3 2
−3+ 1
1 = 9
−6.
Poglavlje ´cemo zavr¡siti s dvije definicije: vektori koji le¡ze u ravnini su
kolinearni ravnini , a vektori su komplanarni ako imaju predstavnike koji su
kolinearni jednoj ravnini. Na primjer, vektori i, j i a = x i+y j su komplanarni
za ∀x, y ∈ R.
|
|
|
barjak
|
#80
|
Posts: 706
31. Hei 2009. 08:36:20
|
vektorska algebra i analiticka geometrija
80 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA
3.5.3 Koordinatizacija prostora
Koordinatizaciju trodimenzionalnog prostora E dobijemo sli¡cno kao u prethodnim
poglavljima. Prvo odaberemo ishodi¡ste O i medusobno okomite pravce
p, q i r koji prolaze kroz to¡cku O. U ravnini razapetoj s pravcima p i q definiramo
desni pravokutni koordinatni sustav (O, i, j) na na¡cin opisan u poglavlju
3.5.2. Potom na pravcu r definiramo koordinatni sustav (O, k) tako da vektori
i, j i k zadovoljavaju pravilo desnog vijka. Time smo definirali desni pravokutni
koordinatni sustav (O, i, j, k) u prostoru E koji je prikazan na slici 3.7.
Pri tome vrijedi
i = −→ OI, j = −→ OJ, k = −−→ OK, |i| = |j| = |k| = 1.
a
p
q
r
P T’
Q
T
K
I
J i j
k
R
x
y
z
Slika 3.7: Koordinatizacija prostora
Brojevni pravci koje smo nanijeli na pravce p, q i r su koordinatne osi i
to redom apscisna, ordinatna i aplikatna os (x-os, y-os i z-os). Tri ravnine
x-y, x-z i y-z, koje su odredene odgovaraju´cim koordinatnim osima, zovu se
koordinatne ravnine i dijele prostor na osam oktanata.
Neka je zadana to¡cka T ∈ E. Ravnine paralelne s koordinatnim osima koje
prolaze kroz to¡cku T sijeku koordinatne osi u to¡ckama P, Q i R (slika 3.7).
Koordinate tih to¡caka u koordinatnim sustavima (O, i), (O, j) i (O, k) jednake
|
|
|
barjak
|
#81
|
Posts: 706
31. Hei 2009. 08:36:54
|
koordinarizacija
3.5 Koordinatizacija 81
su x, y i z. Brojevi x, y i z su koordinate to¡cke T, odnosno x je apscisa, y je
ordinata, a z je aplikata to¡cke T.
Brojevi x, y i z su takoder skalarne komponente vektora a = −→ OT u sustavu
(O, i, j, k). Prema pravilu o zbrajanju vektora iz poglavlja 3.2 vrijedi (slika
3.7)
−→ OT = −−→ OT′ + −−→ OR = x−→ OI + y −→ OJ + z −−→ OK,
odnosno
a = x i + y j + z k.
Skalarne komponente jednozna¡cno su odredene to¡ckom T pa za ozna¡cavanje
vektora koristimo skra´cene zapise
a = {x, y, z}, a = x y z, a = 

x
y
z

.
Kako vektor u prostoru mo¡zemo zapisati ili kao ret¡canu matricu dimenzije
1×3 ili stup¡canu matricu dimenzije 3×1, zbrajanje vektora i mno¡zenje vektora
skalarom odgovara zbrajanju matrica i mno¡zenju matrica skalarom.
U koordinatnom sustavu mo¡zemo na´ci skalarne komponente vektora, odnosno
usmjerene du¡zine koja je zadana s dvije to¡cke.
Primjer 3.2 Neka su zadane to¡cke A = (xA, yA, zA) i B = (xB, yB, zB). Kao
¡sto se vidi na slici 3.8 vrijedi
−→ OA + −−→ AB = −−→ OB,
odnosno
−−→ AB = −−→ OB − −→ OA.
Dakle,
−−→ AB = (xB − xA) i + (yB − yA) j + (zB − zA) k = 

xB − xA
yB − yA
zB − zA

.
Na primjer,
A = (1, 2, 3) ∧ B = (−1, 0, 5) ⇒ −−→ AB = {−2,−2, 2}.
Napomena 3.1 Kod definicije pravokutnih koordinatnih sustava u ovom i
prethodnom poglavlju koristili smo medusobno okomite pravce. Medutim,
koordinatni sustav se mo¡ze definirati i s pravcima koji nisu medusobno okomiti.
|
|
|
barjak
|
#82
|
Posts: 706
31. Hei 2009. 08:37:31
|
vektorska algebra i analiticka geometrija
82 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA
A
B
O
Slika 3.8: Komponente vektora
Tako kod koordinatizacije ravnine mo¡zemo uzeti bilo koja dva pravca koja
prolaze kroz to¡cku O i nisu paralelna. Sli¡cno, kod koordinatizacije prostora
mo¡zemo uzeti bilo koju koordinatizaciju neke odabrane ravnine u prostoru i
tre´ci pravac koji prolazi kroz ishodi¡ste i ne le¡zi u toj ravnini (vidi poglavlje
3.8).
3.6 Duljina vektora, jedini¡cni vektor, kut izmedu
vektora i kosinusi smjerova
Duljina ili norma vektora a = {x, y, z} jednaka je
|a| = px2 + y2 + z2. (3.1)
Naime, dvostrukom primjenom Pitagorinog pou¡cka (slika 3.7) dobijemo:
|−→ OT|2 = |−−→ OT′|2 + |−−→ OR|2 = |−−→ OP|2 + |−−→ OQ|2 + |−−→ OR|2.
Jedini¡cni vektor vektora a 6= 0 je vektor
a0 =
a
|a|
.
Iz definicije slijedi
|a0| =
a
|a|
=
1
|a||a| = 1,
odnosno jedini¡cni vektor ima duljinu jedan, kolinearan je vektoru a i ima istu
orijentaciju. Na primjer, vektori i, j i k su sami svoji jedini¡cni vektori.
|
|
|
barjak
|
#83
|
Posts: 706
31. Hei 2009. 08:38:39
|
llineaena nezavisnost vektora
3.7 Linearna nezavisnost vektora 83
Neka je a, b 6= 0 i neka su −→ OA i −−→ OB njihovi predstavnici s hvati¡stem u to¡cki
O, redom. Kut izmedu vektora a i b definiramo kao kut izmedu usmjerenih
du¡zina −→ OA i −−→ OB,
∠(a, b) = ∠(−→ OA,−−→ OB).
Prikloni kutovi vektora a 6= 0 su kutovi koje taj vektor zatvara s vektorima
i, j i k. Kosinusi smjerova su kosinusi priklonih kutova.
Teorem 3.1 Kosinusi smjerova vektora a 6= 0 jednaki su skalarnim komponentama
jedini¡cnog vektora a0.
Dokaz. Tvrdnja slijedi iz definicije skalarnog produkta u poglavlju 3.9 (vidi
primjer 3.6).
Ako je a = x i+y j+z k i ako priklone kutove ozna¡cimo redom s , i
,
tada je
cos =
x
px2 + y2 + z2
, cos =
y
px2 + y2 + z2
, cos
=
z
px2 + y2 + z2
.
O¡cito je
a0 = cos i + cos j + cos
k,
1 = cos2 + cos2 + cos2
.
Primjer 3.3 Ako je a = i − 3 j + 2 k, tada je
a0 =
1
√14
i −
3
√14
j +
2
√14
k,
cos =
1
√14
, cos = −
3
√14
, cos
=
2
√14
.
3.7 Linearna nezavisnost vektora
Definicija linearne nezavisnosti vektora u prostoru E jednaka je definiciji
linearne nezavisnosti stup¡canih vektora iz poglavlja 2.5, pri ¡cemu smo se ovdje
ograni¡cili na trodimenzionalni prostor.
Linearna kombinacija vektora a1, · · · , ak je vektor
a = 1a1 + 2a2 + · · · + kak, 1, · · · , k ∈ R,
Vektori a1, a2, · · · , ak su linearno nezavisni ako za sve skalare 1, · · · , k ∈ R
1a1 + 2a2 + · · · + kak = 0 ⇒ 1 = · · · = k = 0.
|
|
|
barjak
|
#84
|
Posts: 706
31. Hei 2009. 08:39:27
|
vektorska algebra i analiticka geometrija
84 VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITI¡CKA GEOMETRIJA
U protivnom su vektori linearno zavisni. Drugim rije¡cima, vektori a1, · · · , ak
su linearno zavisni ako i samo ako postoje 1, · · · , k takvi da je
1a1 + 2a2 + · · · + kak = 0,
pri ¡cemu je P|i| > 0.
Ako je
a1 = {x1, y1, z1}, · · · , ak = {xk, yk, zk},
tada je linearna nezavisnost vektora a1, · · · , ak ekvivalentna s linearnom nezavisno
¡s´cu stupaca matrice


x1 x2 · · · xk
y1 y2 · · · yk
z1 z2 · · · zk

.
Primjer 3.4 Svaka dva kolinearna vektora i svaka tri komplanarna vektora
su linearno zavisna. Svaka ¡cetiri vektora u prostoru E su linearno zavisna.
Svaka dva nekolinearna vektora i svaka tri nekomplanarna vektora su linearno
nezavisna.
3.8 Baza prostora E
Svaka tri linearno nezavisna vektora a, b i c ¡cine bazu prostora E i defi-
niraju koordinatni sustav (O, a, b, c). Svaki vektor d iz prostora E mo¡ze se
jednozna¡cno prikazati kao linearna kombinacija vektora baze, odnosno
d = a + b +
c. (3.2)
Sljede´ci primjer prikazuje postupak transformacije iz jedne baze u drugu,
odnosno iz jednog koordinatnog sustava u drugi.
Primjer 3.5 Neka su u sustavu (O, i, j, k) zadani vektori
a = {1,−1, 1}, b = {1, 0, 2}, c = {0, 1,−1}.
Definirajmo matricu
A = 

1 1 0
−1 0 1
1 2 −1


¡ciji su stupci zadani vektori. Vrijedi detA = −2 6= 0 pa je prema svojstvu
D8 iz poglavlja 2.9.1 matrica A regularna, odnosno njeni stupci su linearno
nezavisni. Dakle, vektori a, b i c ¡cine bazu.
|
|
|
barjak
|
#85
|
Posts: 706
31. Hei 2009. 08:40:19
|
skalarni produkt
3.9 Skalarni produkt 85
Da bi vektor d = i+2 j+3 k prikazali u sustavu (O, a, b, c) trebamo rije¡siti
jednad¡zbu (3.2), odnosno


1
2
3

 = 

1
−1
1

+ 

1
0
2

+


0
1
−1

.
Iz interpretacije matri¡cnog mno¡zenja u poglavlju 2.1.6 vidimo da je ovo zapravo
sustav linearnih jednad¡zbi


1 1 0
−1 0 1
1 2 −1





 = 

1
2
3

.
Rje¡senje sustava je = −3/2, = 5/2 i
= 1/2, odnosno
d = −
3
2
a +
5
2
b +
1
2
c.
Obratno, vektor e = 2 a − b + c ima u sustavu (O, i, j, k) zapis
e = A

2
−1
1

 = 

1
−1
−1

.
3.9 Skalarni produkt
Definicija 3.4 Skalarni produkt vektora a i b je broj
a · b = |a| |b| cos ∠(a, b).
Jo¡s koristimo oznake a b i (a, b).
Skalarni produkt ima sljede´ca svojstva:
S1. a · b = 0 ako je a = 0 ili b = 0 ili a ⊥ b,
S2. a · b ≥ 0 ako je ∠(a, b) ≤ /2, a a · b < 0 ako je ∠(a, b) > /2,
S3. vrijedi
i · i = j · j = k · k = 1,
i · j = j · i = i · k = k · i = j · k = k · j = 0,
S4. a · a = |a| |a| = |a|2,
|
|
| Sivut : Previous 1 . . . 3 4 5 [6] 7 8 9 10 Next |
|
You haven`t enough privilegies to reply in this forum.
|
